定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{2}^{4} x\log xdx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{14\log 2- 3}$

■ヒント

部分積分法

$3$\displaystyle{\int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx}$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx}$ ･･････(1)

定積分の基本式

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ ･･････(2)

部分積分法の定積分

$3$\displaystyle{ ∫_{a}^{b} f $x$ {g}^{′} $x$ dx }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 $3$\displaystyle{ = \[ f $x$ g $x$ \] _{a}^{b} -∫_{a}^{b} {f}^{′} $x$ g $x$ dx }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 ･･････(3)

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int x\log xdx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{\int x\log x dx=\int \log x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ }^{\prime } dx}$

と見て部分積分法（ヒントの(1))を用いる．

与式 $3$\displaystyle{=\int \log x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ }^{\prime } dx}$

$3$\displaystyle{= $ \log x $ \cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{- \int { $ \log x $ }^{\prime }\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ dx}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log x- \int $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ \cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ dx}$

（ $3$\displaystyle{{ $ \log x $ }^{\prime }}$ が $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ になるのは，微分 $3$\displaystyle{ \log x }$ を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int xdx }$

（ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ を積分記号 $3$\displaystyle{\int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+C}$

（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）
（これが $3$\displaystyle{ x\log x }$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式（ヒントの(2))より

$3$\displaystyle{\int _{2}^{4} x\log x dx= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2} \] _{2}^{4}}$

となる．

$3$\displaystyle{= $ 8\log 4- 4 $ - $ 2\log 2- 1 $ }$

$3$\displaystyle{=8\log {2}^{2}- 4- 2\log 2+1}$

$3$\displaystyle{=16\log 2- 2\log 2- 3}$

（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{ \log }_{a}R }$ の証明を参照）

$3$\displaystyle{=14\log 2- 3}$

●別解

(3)を用いて計算する．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{2}^{4}x\log xdx}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{2}^{4}{\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} }\right)}^{\prime }\log xdx}$ （(3)において， $3$\displaystyle{f\left({x}\right)=\log x}$ ， $3$\displaystyle{{g}^{\prime }\left({x}\right)=x}$ としている．）

$3$\displaystyle{=\left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\log x }\right]_{2}^{4}}$ $3$\displaystyle{- \displaystyle{\int }_{2}^{4}\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} }\right){\left({ \log x }\right)}^{\prime }dx}$

$3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {4}^{2}\log 4- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {2}^{2}\log 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{- \displaystyle{\int }_{2}^{4}\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)dx}$

$3$\displaystyle{=8\log {2}^{2}- 2\log 2- \displaystyle{\int }_{2}^{4}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}xdx}$

$3$\displaystyle{=16\log 2- 2\log 2- \left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2} }\right]_{2}^{4}}$

$3$\displaystyle{=14\log 2- \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {4}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {2}^{2} }\right)}$

$3$\displaystyle{=14\log 2- 3}$

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最終更新日： 2025年10月16日