定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\int _{0}^{ \sqrt{3}- 1 } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+1 $ }^{2}+3 \hspace{2}}dx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2} 12\sqrt{3} \hspace{2}}}$

■ヒント

定積分の基本式

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$

基本となる関数の積分

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+ {a}^{2} \hspace{2}}dx =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{\tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+ C}}$ （ $3$C$ は積分定数）

を用いる．

■解答

あらかじめ， $3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+1 $ }^{2}+3 \hspace{2}}dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+1 $ }^{2}+3 \hspace{2}}dx }$

（この積分を参考にするとよい）

$3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+1 $ }^{2}+{ $ \sqrt{3} $ }^{2} \hspace{2}}dx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{ \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}+C }$

（これが $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+1 $ }^{2}+3 \hspace{2}} }$ の原始関数である）

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

$3$\displaystyle{\int _{0}^{ \sqrt{3}- 1 } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+1 $ }^{2}+3 \hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{ = \left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{ \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} }\right] _{0}^{ \sqrt{3}- 1 } }$

となる．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ { \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}- { \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ { \tan }^{ - 1 }1- { \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ }$

（ $3$\displaystyle{ { \tan }^{ - 1 } }$ については，アークタンジェントを参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2} 12\sqrt{3} \hspace{2}}}$

●別解

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{ \sqrt{3}- 1 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x+1 }\right) }^{2}+3 \hspace{2}}dx }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{\int }_{0}^{ \sqrt{3}- 1 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} }\right) }^{2}+1 \hspace{2}}dx}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}=\tan {\theta}}$ とおく置換積分をする．ただし， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ．

$3$\displaystyle{x=\sqrt{3}\tan {\theta}- 1}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}\text{ }\rightarrow \text{ }dx=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}d{\theta}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき， $3$\displaystyle{0=\sqrt{3}\tan {\theta}- 1}$ ， $3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ 　ここを参照

$3$\displaystyle{x=\sqrt{3}- 1}$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{3}- 1=\sqrt{3}\tan {\theta}- 1}$ ， $3$\displaystyle{\tan {\theta}=1}$ ， $3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 　ここを参照

よって

与式 $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \tan {\theta} }\right) }^{2}+1 \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{{\tan }^{2}{\theta}+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}{\theta} \hspace{2}}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\displaystyle{\int }_{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }1\cdot d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\left[{{\theta}}\right]_{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}\left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2} 12\sqrt{3} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年9月8日