三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< {\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{ \sqrt{3}\tan {\theta}=1 }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\tan {\theta}=c$ の求め方

■解説

$3$\displaystyle{ \tan {\theta} }$ の値は，単位円上の点の座標を用いた定義では

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=}$	$3$\displaystyle{y}$ 座標
	$3$\displaystyle{x}$ 座標

となる( ここを参照)．

$3$\displaystyle{x=1}$ ， $3$\displaystyle{x=- 1}$ の補助線を2本描く.

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}}$ より，座標 $3$\displaystyle{\left({ 1,\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} }\right)}$ を点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ （ $3$\text{\tan }{\theta}$ と直線 $3$x=1$ の関係を参照）．とし，点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ の原点に関して対称な点を点 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とする.

点 $3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ 点から $3$\displaystyle{x}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を点 $3$\displaystyle{\text{R}}$ ，点 $3$\displaystyle{\text{S}}$ とする．

$3$\displaystyle{\text{OR}=1}$ ， $3$\displaystyle{\text{PR}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$3$\displaystyle{\angle \text{POR}=\hspace{1}{{\theta}}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

$3$\displaystyle{0\leq {\theta}< {\pi}}$ なので(円周上の赤線)， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{2}}$ は範囲外となる．

よって，求める角

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{\pi}}$

はとなる．

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最終更新日： 2025年2月13日