tanθと単位円と直線x=1の関係

原点 $3$\text{O}$ と単位円上の点 $3$\text{P}$ $3$\left({ x,y }\right)$ を通る直線と $3$x=1$ の直線の交点 $3$\text{S}$ の $3$y$ 座標の値 $3$m$ が $3$\tan {\theta}$ の値になる．

$3$\tan {\theta}=m$

■証明

● $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の場合

図1　 $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の場合

$3$\tan {\theta}$ の定義より

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \bar{ \text{QP} } \hspace{2}}{\hspace{2} \bar{ \text{OQ} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \bar{ \text{TS} } \hspace{2}}{\hspace{2} \bar{ \text{OT} } \hspace{2}}}$ （∵△ $3$\text{OQP}$ ∽ $3$\text{OTS}$ ）

$3$\displaystyle{=\bar{ \text{TS} }}$ （∵ $3$\displaystyle{\bar{ \text{OT} }=1}$ ）

$3$=m$

● $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}\leq {\pi} }$ の場合

図2　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}\leq {\pi} }$ の場合

$3$\tan {\theta}$ の定義より

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \bar{ \text{QP} } \hspace{2}}{\hspace{2} - \bar{ \text{OQ} } \hspace{2}}}$ （∵ $3$\displaystyle{x< 0}$ より $3$\displaystyle{x=- \bar{ \text{OQ} }}$ ）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \bar{ \text{TS} } \hspace{2}}{\hspace{2} - \bar{ \text{OT} } \hspace{2}}}$ （∵△ $3$\text{OQP}$ ∽ $3$\text{OTS}$ ）

$3$\displaystyle{=- \bar{ \text{TS} }}$ （∵ $3$\displaystyle{\bar{ \text{OT} }=1}$ ）

$3$=m$ （∵ $3$\displaystyle{m< 0}$ より $3$\displaystyle{m=- \bar{ \text{TS} }}$ ）

● $3$\displaystyle{{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ の場合

図3　 $3$\displaystyle{{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ の場合

$3$\tan {\theta}$ の定義より

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - \bar{ \text{QP} } \hspace{2}}{\hspace{2} - \bar{ \text{OQ} } \hspace{2}}}$

∵ $3$\displaystyle{x< 0}$ より $3$\displaystyle{x=- \bar{ \text{OQ} }}$ ， $3$\displaystyle{y< 0}$ より $3$\displaystyle{y=- \bar{ \text{QP} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - \bar{ \text{TS} } \hspace{2}}{\hspace{2} - \bar{ \text{OT} } \hspace{2}}}$ （∵△ $3$\text{OQP}$ ∽ $3$\text{OTS}$ ）

$3$\displaystyle{=\bar{ \text{TS} }}$ （∵ $3$\displaystyle{\bar{ \text{OT} }=1}$ ）

$3$=m$

● $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< {\theta}< 2{\pi}}$ の場合

図4　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< {\theta}< 2{\pi}}$ の場合

$3$\tan {\theta}$ の定義より

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - \bar{ \text{QP} } \hspace{2}}{\hspace{2} \bar{ \text{OQ} } \hspace{2}}}$ （∵ $3$\displaystyle{y< 0}$ より $3$\displaystyle{x=- \bar{ \text{QP} }}$ ）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - \bar{ \text{TS} } \hspace{2}}{\hspace{2} \bar{ \text{OT} } \hspace{2}}}$ （∵△ $3$\text{OQP}$ ∽ $3$\text{OTS}$ ）

$3$\displaystyle{=- \bar{ \text{TS} }}$ （∵ $3$\displaystyle{\bar{ \text{OT} }=1}$ ）

$3$=m$ （∵ $3$\displaystyle{m< 0}$ より $3$\displaystyle{m=- \bar{ \text{TS} }}$ ）

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最終更新日： 2025年2月12日

tanθと単位円と直線x=1の関係

■証明

● の場合

● の場合

● の場合

● の場合

● $3$\displaystyle{0\leq {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ の場合

● $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}\leq {\pi} }$ の場合

● $3$\displaystyle{{\pi}< {\theta}< \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ の場合

● $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}< {\theta}< 2{\pi}}$ の場合