定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

■ヒント

(1)　定積分の基本式

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$

(2) 基本となる関数の積分

$3$\displaystyle{ \int \sin xdx=- \cos x+C }$ （ $3$C$ は積分定数）

(3)　以下の関係式

を用いる．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int f $ ax+b $ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}F $ ax+b $ }}$

■解説

ヒントの(1)，(2)，(3)より

$3$\displaystyle{\int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \sin $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx}$ $3$\displaystyle{=- \[ \cos $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \] _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=- \[ \cos $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \] _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=- \{ \cos $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{ - \cos $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \} }$

$3$\displaystyle{=- \{ \cos ${\pi}$ - \cos $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \} }$

$3$\displaystyle{=- $ - 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年6月9日