定積分

■問題

次の計算をせよ（定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx } }$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+2\log 2 }$

■ヒント

分子の次数が分母の次数より小さくなるように式を変形する．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2} $ x+1 $ $ x- 1 $ +2 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ x- 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ dx }}$

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- x+2\log \| x+1 \| \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{= \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {1}^{2}- 1+2\log $1+1$ \} }$ $3$\displaystyle{- \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {0}^{2}- 0+2\log $0+1$ \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1+2\log 2}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+2\log 2}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>> $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2} {x}^{2}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx } }$

最終更新日：2025年6月9日