置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}{e}^{ {x}^{3} } }dx}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ e- 1 $ }$

$3$\displaystyle{{x}^{3}=t}$ とおいて考える．

$3$\displaystyle{{x}^{3}=t}$ とおく．

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると，

$3$\displaystyle{3{x}^{2}=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ 　　

よって， $3$\displaystyle{3{x}^{2}dx=dt}$

積分範囲について考えると， $3$\displaystyle{{x}^{3}=t}$ より，

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき， $3$\displaystyle{t=0}$

$3$\displaystyle{x=1}$ のとき， $3$\displaystyle{t=1}$

以上より，与式を $3$\displaystyle{t}$ の式に変換すると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}{e}^{ {x}^{3} } }dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{t} }dt}$

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{t} \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ {e}^{1}- {e}^{0} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ e- 1 $ }$

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最終更新日： 2023年11月14日