ベクトルの計算問題

■問題

位置ベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ が $3$\displaystyle{ \left|{ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|=3 }$ を満たしている． $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,2 }\right)}$ のとき， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }}$ の終点が描く図形を答えよ．

■ヒント

$3$\displaystyle{{\left|{ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}}$ $3$\displaystyle{=\left({ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)}$ （ここを参照）

■解説

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ ･･････(1)

とおく．

$3$\displaystyle{ \left|{ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|=3 }$ ･･････(2)

(2)の両辺を2乗する．

$3$\displaystyle{{\left|{ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right|}^{2}={3}^{2}}$

$3$\displaystyle{\left({ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)=9}$

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)- {a}\limits^{\rightarrow }\cdot \left({ {b}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)=9}$

$3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }\cdot {a}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }+{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {a}\limits^{\rightarrow }=9}$

$3$\displaystyle{{\left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}- 2\left({ {a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow } }\right)+{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}=9}$ ･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{ { \left|{{b}\limits^{\rightarrow }}\right| }^{2}={x}^{2}+{y}^{2} }$ ･･････(4)

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }\cdot {b}\limits^{\rightarrow }=\left({ 1,2 }\right)\cdot \left({ x,y }\right)}$ $3$\displaystyle{=x+2y}$ ･･････(5)

$3$\displaystyle{{\left|{{a}\limits^{\rightarrow }}\right|}^{2}={1}^{2}+{2}^{2}=5}$ ･･････(6)

(3)に(4)，(5)，(6)を代入する．

$3$\displaystyle{{x}^{2}+{y}^{2}- 2\left({ x+2y }\right)+5=9}$

$3$\displaystyle{{\left({ x- 1 }\right)}^{2}+{\left({ y- 2 }\right)}^{2}={3}^{2}}$ ･･････(7)

(7)は円の方程式で，円の中心が $3$\displaystyle{\left({ 1,2 }\right)}$ ,半径が $3$3$ の円を表す．

点 $3$\text{B}$ をドラッグして動かしてみよう．

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最終更新日： 2025年10月14日