平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ 1,1,- 2 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}\left({ 1,- 1,2 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}\left({ 2,2,1 }\right)}$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{5x- 2y- z- 5=0}$

■ヒント

点 $3$\displaystyle{ \text{A} $ \hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1},\hspace{1}{z}_{1} $ }$ を通り，法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }=$a,b,c$}$ の平面の方程式

$3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$ 　 (法線ベクトル $3$\displaystyle{{n}\limits^{\rightarrow }=$a,b,c$}$ )　　　

を用いる．

■解説

平面の方程式を

$3$\displaystyle{ ax+by+cz+d=0 }$ 　　･･････(1)

とすると

$3$\displaystyle{ a+b- 2c+d=0 }$ 　･･････(2)   （ $3$\displaystyle{ \text{A} $ 1,1,- 2 $ }$ が平面上にあるから）
$3$\displaystyle{ a- b+2c+d=0 }$ 　･･････(3)    ( $3$\displaystyle{ \text{B} $ 1,- 1,2 $ }$ が平面上にあるから)
$3$\displaystyle{ 2a+2b+c+d=0 }$ 　･･････(4)   ( $3$\displaystyle{ \text{C} $ 2,2,1 $ }$ が平面上にあるから)