ベクトルの計算問題

■問題

点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{ \left({ - 2,1 }\right) }$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ 4,3 }\right)}$ ，点 $3$\text{P}$ $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)}$ とする．たさし， $3$x$ ， $3$y$ は変数である．ベクトル方程式

$3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{BP} }\limits^{\rightarrow }=0}$

を満たす点 $3$\text{P}$ が描く図形を答よ．

■答

点 $3$\text{P}$ は，点 $3$\displaystyle{\left({ 1,2 }\right)}$ を中心とする半径 $3$ \sqrt{ 10 }$ の円を描く

■ヒント

ベクトルを用いた円の方程式を参照

■解説

座標平面の原点を点 $3$\text{O}$ とする．

$3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x,y }\right)- \left({ - 2,1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x+2,y- 1 }\right)}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{{ \text{BP} }\limits^{\rightarrow }={ \text{BO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={ \text{OP} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x,y }\right)- \left({ 4,3 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x- 4,y- 3 }\right)}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\left({ x+2,y- 1 }\right)\cdot \left({ x- 4,y- 3 }\right)=0}$ 　･･････(3)

となるベクトル方程式が得られる．これを以下のように整理する．

$3$\displaystyle{\left({ x+2 }\right)\left({ x- 4 }\right)+\left({ y- 1 }\right)\left({ y- 3 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2x- 8+{y}^{2}- 4y+3=0}$

$3$\displaystyle{{\left({ x- 1 }\right)}^{2}- 9+{\left({ y- 2 }\right)}^{2}- 1=0}$

$3$\displaystyle{{\left({ x- 1 }\right)}^{2}+{\left({ y- 2 }\right)}^{2}=10}$

$3$\displaystyle{{\left({ x- 1 }\right)}^{2}+{\left({ y- 2 }\right)}^{2}={\left({ \sqrt{ 10 } }\right)}^{2}}$ 　･･････(4)

(4)より点 $3$\text{P}$ は，点 $3$\displaystyle{\left({ 1,2 }\right)}$ を中心とする半径 $3$ \sqrt{ 10 }$ の円を描く(円の方程式を参照)．

点 $3$\text{P}$ をドラッグして動かしてみよう．

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最終更新日： 2025年10月17日