ベクトルを用いた円の方程式

●原点が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

円周上の点 $3$\text{P}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ とすると，円の方程式は

$3$\displaystyle{\left|{{p}\limits^{\rightarrow }}\right|=r}$

となる．

●点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)}$ が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

円周上の点 $3$\text{P}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ ，点 $3$\text{C}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ a,b }\right)}$ とすると，円の方程式は

$3$\displaystyle{\left|{ {p}\limits^{\rightarrow }- {c}\limits^{\rightarrow } }\right|=r}$

となる．

●点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{a},\hspace{1}{y}_{a} }\right)}$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{b},\hspace{1}{y}_{b} }\right)}$ において，線分 $3$\text{AB}$ を直径とする円の方程式

円周上の点 $3$\text{P}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ ，点 $3$\text{A}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{x}_{a},\hspace{1}{y}_{a} }\right)}$ ，点 $3$\text{B}$ の位置ベクトルを $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{x}_{b},\hspace{1}{y}_{b} }\right)}$ とすると，円の方程式は

$3$\displaystyle{\left({ {p}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ {p}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow } }\right)=0}$

となる．

■導出

●原点が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

原点が中心で半径 $3$r$ の円の方程式は

$3$\displaystyle{ {x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2} }$ ･･････(1)

である．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ より

$3$\displaystyle{\left|{{p}\limits^{\rightarrow }}\right|=\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }}$ ･･････(2)

（ベクトルの大きさを参照）

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{\left|{{p}\limits^{\rightarrow }}\right|=r}$ ･･････(3)

が得られる．

●点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)}$ が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)}$ が中心で半径 $3$r$ の円の方程式は

$3$\displaystyle{{\left({ x- a }\right)}^{2}+{\left({ y- b }\right)}^{2}={r}^{2}}$ ･･････(4)

である．

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{c}\limits^{\rightarrow }=\left({ a,b }\right)}$ より

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }- {c}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)- \left({ a,b }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ x- a,y- b }\right)}$

$3$\displaystyle{\left|{ {p}\limits^{\rightarrow }- {c}\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ { \left({ x- a }\right) }^{2}- { \left({ y- b }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\left({ x- a,y- b }\right)}$ ･･････(5)

（ベクトルの大きさを参照）

(4)，(5)より

$3$\displaystyle{\left|{ {p}\limits^{\rightarrow }- {c}\limits^{\rightarrow } }\right|=r}$ ･･････(6)

が得られる．

●点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{a},\hspace{1}{y}_{a} }\right)}$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{b},\hspace{1}{y}_{b} }\right)}$ において，線分 $3$\text{AB}$ を直径とする円の方程式

円の中心は

$3$\displaystyle{\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}+\hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}+\hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$

半径は

$3$\displaystyle{\sqrt{ { \left({ \hspace{1}{x}_{a}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}+\hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \hspace{1}{y}_{a}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}+\hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}- \hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2}+{ \left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}- \hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }^{2} }}$

よって，線分 $3$\text{AB}$ を半径とする円の方程式は

$3$\displaystyle{{\left({ x- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}+\hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}+{\left({ y- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}+\hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{={\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}- \hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}+{\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}- \hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}}$ ･･････(7)

となる．(7)を式変形していく．

$3$\displaystyle{{\left({ x- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}+\hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}- \hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{+{\left({ y- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}+\hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}- {\left({ \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}- \hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}=0}$

$3$\displaystyle{\left({ x- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}+\hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}- \hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\left({ x- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}+\hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{a}- \hspace{1}{x}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{+\left({ y- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}+\hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}- \hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)\left({ y- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}+\hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \hspace{1}{y}_{a}- \hspace{1}{y}_{b} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)=0}$

$3$\displaystyle{\left({ x- \hspace{1}{x}_{a} }\right)\left({ x- \hspace{1}{x}_{b} }\right)}$ $3$\displaystyle{+\left({ y- \hspace{1}{y}_{a} }\right)\left({ y- \hspace{1}{y}_{b} }\right)=0}$ ･･････(8)

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }=\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{x}_{a},\hspace{1}{y}_{a} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{{b}\limits^{\rightarrow }=\left({ \hspace{1}{x}_{b},\hspace{1}{y}_{b} }\right)}$ より

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow }=\left({ x- \hspace{1}{x}_{a},y- \hspace{1}{y}_{a} }\right)}$ ･･････(9)

$3$\displaystyle{{p}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }=\left({ x- \hspace{1}{x}_{b},y- \hspace{1}{y}_{b} }\right)}$ ･･････(10)

(8)，(9)，(10)より

$3$\displaystyle{\left({ {p}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow } }\right)\cdot \left({ {p}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow } }\right)=0}$ ･･････(10)

（∵内積を参照）

が得られる．

◇円周角の定理を用いた導出

円周角の定理より， $3$\displaystyle{\angle \text{APB=90}^\circ }$ より

$3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{BP} }\limits^{\rightarrow }=0}$ ･･････(11)

の関係式が得られる．また

$3$\displaystyle{{ \text{AP} }\limits^{\rightarrow }={p}\limits^{\rightarrow }- {a}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(12)

$3$\displaystyle{{ \text{BP} }\limits^{\rightarrow }={p}\limits^{\rightarrow }- {b}\limits^{\rightarrow }}$ ･･････(13)

である．

(11)，(12)，(13)より(10)が得られる．

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最終更新日 2025年10月17日

ベクトルを用いた円の方程式

●原点が中心で半径 の円の方程式

●点 が中心で半径 の円の方程式

●点 ，点 において，線分 を直径とする円の方程式

■導出

●原点が中心で半径 の円の方程式

●点 が中心で半径 の円の方程式

●点 ，点 において，線分 を直径とする円の方程式

◇円周角の定理を用いた導出

●原点が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

●点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)}$ が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

●点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{a},\hspace{1}{y}_{a} }\right)}$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{b},\hspace{1}{y}_{b} }\right)}$ において，線分 $3$\text{AB}$ を直径とする円の方程式

●原点が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

●点 $3$\text{C}$ $3$\displaystyle{\left({ a,b }\right)}$ が中心で半径 $3$r$ の円の方程式

●点 $3$\text{A}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{a},\hspace{1}{y}_{a} }\right)}$ ，点 $3$\text{B}$ $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{b},\hspace{1}{y}_{b} }\right)}$ において，線分 $3$\text{AB}$ を直径とする円の方程式