平面に関連した問題

■問題

$3$\displaystyle{3}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A} $ 3,1,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{\text{B} $ 2,0,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{\text{C} $ 0,1,1 $ }$ がある．以下の問に答えよ．

(1) $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．

(2) $3$\displaystyle{\angle \text{BAC}={\theta}}$ とする． $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ の値を求めよ．

(3) $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ に平行で大きさが $3$\displaystyle{1}$ のベクトル $3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．

(4) $3$\displaystyle{2}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．

(6) $3$\displaystyle{3}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) $3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ の面積を求めよ．

■解説動画

(1)，(2)の解説

(3)の解説

(4)の解説

(5)の解説

(6)の解説

(7)の解説

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■答

(1)

原点を $3$\text{O}$ とする．

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 2,0,1 }\right)- \left({ 3,1,0 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 1,- 1,1 }\right)}$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 0,1,1 }\right)- \left({ 3,1,0 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 3,0,1 }\right)}$

(2)

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2} { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } \| \| { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}} }$ (内積を参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1\times $ - 3 $ + $ - 1 $ \times 0+1\times 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ { $ - 1 $ }^{2}+{ $ - 1 $ }^{2}+{1}^{2} }\cdot \sqrt{ { $ - 3 $ }^{2}+{1}^{2} } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3}\cdot \sqrt{ 10 } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 30 } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4\sqrt{ 30 } \hspace{2}}{\hspace{2} 30 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2\sqrt{ 30 } \hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} }$

(3)

ベクトルの平行と単位ベクトルを参考にする．

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ { \left({ - 1 }\right) }^{2}+{1}^{2}+{1}^{2} }=\sqrt{3}}$

$3$\displaystyle{{a}\limits^{\rightarrow }=\pm \frac{\hspace{2} { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right| \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ =\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ - 1,- 1,1 $ }$ $3$\displaystyle{ =\pm $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{ =\pm $ - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

(4)

空間における直線の方程式を参照する．

点 $3$\text{A}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ である直線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ ⇒ $3$\displaystyle{- x+3=- y+1=z}$ ･･････(i)

あるいは，点 $3$\text{B}$ を通り，方向ベクトルが $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ である直線の方程式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ ⇒ $3$\displaystyle{- x+2=- y=z- 1}$ ･･････(ii)

(i)の各辺に $3$1$ を加えると(ii)になる．同じ直線でもいろいろな方程式が成り立つ．

(5)

外積の計算の仕方を参照する．

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }= $ - 1,- 1,1 $ }$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ - 3,0,1 $ }$

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ \( - 1 $ \cdot 1- 1\cdot 0,1\cdot $ - 3 $ - $ - 1 $ \cdot 1, $ - 1 $ \cdot 0- $ - 1 $ \cdot $ - 3 $ \) }$ $3$\displaystyle{ = $ - 1,- 2,- 3 $ }$

行列式を用いた外積の計算を以下に示す．

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }=\left|{ \begin{array}{i}\limits^{\rightarrow }&{j}\limits^{\rightarrow }&{k}\limits^{\rightarrow }& \vspace{6}\\ - 1 & - 1 &1& \vspace{6}\\ - 3 &0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ \begin{array} - 1 &1& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|{i}\limits^{\rightarrow }- \left|{ \begin{array} - 1 &1& \vspace{6}\\ - 3 &1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|{j}\limits^{\rightarrow }+\left|{ \begin{array} - 1 & - 1 & \vspace{6}\\ - 3 &0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|{k}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\left({ - 1\cdot 1- 1\cdot 0 }\right){i}\limits^{\rightarrow }- \left({ - 1\cdot 1- 1\cdot \left({ - 3 }\right) }\right){j}\limits^{\rightarrow }+\left({ - 1\cdot 0- \left({ - 1 }\right)\cdot \left({ - 3 }\right) }\right){k}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=- {i}\limits^{\rightarrow }- 2{j}\limits^{\rightarrow }- 3{k}\limits^{\rightarrow }}$

$3$\displaystyle{=\left({ - 1,- 2,- 3 }\right)}$

(6)

平面の方程式を参照する．

法線ベクトルは，外積の定義より $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ である．

$3$\bullet$ 点 $3$\text{A}$ を通り，法線ベクトルが $3$\left({ - 1,- 2,- 3 }\right)$ の場合の計算

$3$\displaystyle{- 1 $ x- 3 $ - 2 $ y- 1 $ - 3z}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x+3- 2y+2- 3z}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x- 2y- 3z+5}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x+2y+3z- 5}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\bullet$ 点 $3$\text{B}$ を通り，法線ベクトルが $3$\left({ - 1,- 2,- 3 }\right)$ の場合の計算

$3$\displaystyle{- 1 $ x- 2 $ - 2y- 3 $ z- 1 $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x+2- 2y- 3z+3}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x- 2y- 3z+5}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x+2y+3z- 5}$ $3$\displaystyle{=0}$

(7)

外積の定義を参照すると， $3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ の面積を $3$S$ とすると

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| }$

である．よって

$3$\displaystyle{S= \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { $ - 1 $ }^{2}+{ $ - 2 $ }^{2}+{ $ - 3 $ }^{2} } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 1+4+9 } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{ 14 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

また，角度 $3${\theta}$ を使うと

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|\left({ \left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|\sin {\theta} }\right)}$

である．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\theta} }=\sqrt{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2} 2\sqrt{ 30 } \hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ 1- \frac{\hspace{2} 4\cdot 30 \hspace{2}}{\hspace{2} { 15 }^{2} \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ 1- \frac{\hspace{2} 4\cdot 2 \hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ { \left({ - 1 }\right) }^{2}+{1}^{2}+{1}^{2} }=\sqrt{3}}$

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ { \left({ - 3 }\right) }^{2}+{0}^{2}+{1}^{2} }=\sqrt{ 10 }}$

よって

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{3}\cdot \sqrt{ 10 }\cdot \sqrt{ \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} }=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 14 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

ヘロンの公式

$3$\displaystyle{S=\sqrt{ s\left({ s- a }\right)\left({ s- b }\right)\left({ s- c }\right) }}$

を使うと

$3$\displaystyle{a=\left|{ { \text{BC} }\limits^{\rightarrow } }\right|}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ - 2 }\right) }^{2}+{1}^{2}+{0}^{2} }}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{5}}$

（ $3$\displaystyle{{ \text{BC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{BO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OB} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\left({ 0,1,1 }\right)- \left({ 2,0,1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ - 2,1,0 }\right)}$ ）

$3$\displaystyle{b=\left|{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{ 10 }}$

$3$\displaystyle{c=\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\sqrt{3}}$

$3$\displaystyle{s=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ a+b+c }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{s- a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)- \sqrt{5}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{s- b=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)- \sqrt{ 10 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}- \sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{s- c=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)- \sqrt{3}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }- \sqrt{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{s\left({ s- a }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ - 5+5\sqrt{2}+\sqrt{ 15 }- 5\sqrt{2}+10+\sqrt{ 30 }- \sqrt{ 15 }+\sqrt{ 30 }+3 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ 8+2\sqrt{ 30 } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 4+\sqrt{ 30 } }\right)}$

$3$\displaystyle{\left({ s- b }\right)\left({ s- c }\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}- \sqrt{ 10 }+\sqrt{3} }\right)\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ \sqrt{5}+\sqrt{ 10 }- \sqrt{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ 5+5\sqrt{2}- \sqrt{ 15 }- 5\sqrt{2}- 10+\sqrt{ 30 }+\sqrt{ 15 }+\sqrt{ 30 }- 3 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ - 8+2\sqrt{ 30 } }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - 4+\sqrt{ 30 } }\right)}$

$3$\displaystyle{s\left({ s- a }\right)\left({ s- b }\right)\left({ s- c }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 4+\sqrt{ 30 } }\right)\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - 4+\sqrt{ 30 } }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\left({ - 16+30 }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{S=\sqrt{ \frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 14 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2026年2月7日