平面に関連した問題

■問題

$3$\displaystyle{3}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A} $ 3,1,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{\text{B} $ 2,0,1 $ }$ ， $3$\displaystyle{\text{C} $ 0,1,1 $ }$ がある．以下の問に答えよ．

(1) $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．

(2) $3$\displaystyle{\angle \text{BAC}={\theta}}$ とする． $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ の値を求めよ．

(3) $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ に平行で大きさが $3$\displaystyle{1}$ のベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{a}}$ を求めよ．

(4) $3$\displaystyle{2}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}}$ を通る直線の方程式を求めよ．

(5) $3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を求めよ．

(6) $3$\displaystyle{3}$ 点 $3$\displaystyle{\text{A}}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}}$ を通る平面の方程式を求めよ．

(7) $3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ の面積を求めよ．

■答

(1)

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }= $ 2,0,1 $ - $ 3,1,0 $ = $ - 1,- 1,1 $ }$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ 0,1,1 $ - $ 3,1,0 $ = $ - 3,0,1 $ }$

(2)

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2} { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\cdot { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \hspace{2}}{\hspace{2} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } \| \| { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1\times $ - 3 $ + $ - 1 $ \times 0+1\times 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ { $ - 1 $ }^{2}+{ $ - 1 $ }^{2}+{1}^{2} }\cdot \sqrt{ { $ - 3 $ }^{2}+{1}^{2} } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3}\cdot \sqrt{ 10 } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 30 } \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4\sqrt{ 30 } \hspace{2}}{\hspace{2} 30 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{ 30 } \hspace{2}}{\hspace{2} 15 \hspace{2}} }$

(3)

$3$\displaystyle{ \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } \| =\sqrt{3}}$

$3$\displaystyle{ \mathbb{a}=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ - 1,- 1,1 $ }$ $3$\displaystyle{ =\pm $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}},- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{ =\pm $ - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},- \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}},\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

(4)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2} x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} y- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=z,- x+3=- y+1=z $ }$

あるいは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} z- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}=z- 1,- x+2=- y=z- 1 $ }$

(5)

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }= $ - 1,- 1,1 $ }$

$3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ - 3,0,1 $ }$

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ \( - 1 $ \cdot 1- 1\cdot 0,1\cdot $ - 3 $ - $ - 1 $ \cdot 1, $ - 1 $ \cdot 0- $ - 1 $ \cdot $ - 3 $ \) }$ $3$\displaystyle{ = $ - 1,- 2,- 3 $ }$

(6)

$3$\displaystyle{- 1 $ x- 3 $ - 2 $ y- 1 $ - 3z}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x+3- 2y+2- 3z}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x- 2y- 3z+5}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x+2y+3z- 5}$ $3$\displaystyle{=0}$

■別解

$3$\displaystyle{- 1 $ x- 2 $ - 2y- 3 $ z- 1 $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x+2- 2y- 3z+3}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x- 2y- 3z+5}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x+2y+3z- 5}$ $3$\displaystyle{=0}$

(7)

$3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ の面積は $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| }$ である．

よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ { $ - 1 $ }^{2}+{ $ - 2 $ }^{2}+{ $ - 3 $ }^{2} } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{ 1+4+9 } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{ 14 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年1月15日