三角形の面積の問題

■問題

空間座標上の3点 $3$\displaystyle{\text{A}\left({ - 2,1,3 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{B}\left({ - 3,1,4 }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\text{C}\left({ - 3,3,5 }\right)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

ベクトルの大きさ $3$\displaystyle{ \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| }$ は， $3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow } }$ と $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ を2辺とする平行四辺形の面積となる． (外積の定義を参照)

よって，平行四辺形の面積を $3$\displaystyle{S}$ とすると

$3$\displaystyle{ S= \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| }$

となり，三角形の面積は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}S\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

となる．

また

$3$\displaystyle{ {\text{AB}}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{a}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z} $ }$ ， $3$\displaystyle{ {\text{AC}}\limits^{\rightarrow }= $ \hspace{1}{b}_{x}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{b}_{z} $ }$ のとき

$3$\displaystyle{ {\text{AB}}\limits^{\rightarrow }\times {\text{AC}}\limits^{\rightarrow }= }$ $3$\displaystyle{ \left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z}\text{\hspace{10}},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }\right) }$

(外積の成分表示を参照)

となる．

■答

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ の成分を求めると

$3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OB} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ - 3,1,4 $ - $ - 2,1,3 $ = $ - 1,0,1 $ }$

$3$\displaystyle{ { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{AO} }\limits^{\rightarrow }+{ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }={ \text{OC} }\limits^{\rightarrow }- { \text{OA} }\limits^{\rightarrow } }$ $3$\displaystyle{ = $ - 3,3,5 $ - $ - 2,1,3 $ = $ - 1,2,2 $ }$

となる．

これより，外積 $3$\displaystyle{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }$ を求める．

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }}$ $3$\displaystyle{\displaystyle{=\left({ \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y},\hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z},\hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }\right)}}$ より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{z}- \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{y}=0\times 2- 1\times 2=}- 2 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{z}\hspace{1}{b}_{x}- \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{z} }$ $3$\displaystyle{ =1\times \left({ - 1 }\right)- \left({ - 1 }\right)\times 2=1 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{x}\hspace{1}{b}_{y}- \hspace{1}{a}_{y}\hspace{1}{b}_{x} }$ $3$\displaystyle{ =\left({ - 1 }\right)\times 2- 0\times \left({ - 1 }\right)=- 2 }$

$3$\displaystyle{{ \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow }= $ - 2,1,- 2 $ }$

となる．

よって，平行四辺形の面積 $3$\displaystyle{\text{S}= \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| }$ は

$3$\displaystyle{\left|{ { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } }\right|=\left|{ \left({ - 2,1,- 2 }\right) }\right|}$ $3$\displaystyle{=\sqrt{ { \left({ - 2 }\right) }^{2}+{1}^{2}+{ \left({ - 2 }\right) }^{2} }}$ $3$\displaystyle{=3}$

となり，求める三角形の面積は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}\text{S}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \| { \text{AB} }\limits^{\rightarrow }\times { \text{AC} }\limits^{\rightarrow } \| \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

と求まる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月17日