相似条件

■相似な立体の表面積比

相似な立体で，対応する部分の長さが $3$\displaystyle{k}$ 倍なら，表面積は $3$\displaystyle{{k}^{2}}$ 倍である．

証明

一例として，円柱の場合について証明する．

下図において，円柱 $3$\displaystyle{\text{Q}}$ ， $3${\text{Q}}^{\prime }$ は相似である．

$3$\displaystyle{\text{Q}}$ と $3${\text{Q}}^{\prime }$ の相似比が $3$\displaystyle{1:k}$ のとき， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ の表面積を $3$\displaystyle{S}$ ， $3${\text{Q}}^{\prime }$ の表面積を $3${\text{S}}^{\prime }$ とおく．

$3$\displaystyle{S=2{\pi}rh}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{{\text{S}}^{\prime }=2{\pi}kr\cdot kh}$ $3$\displaystyle{={k}^{2}\cdot 2{\pi}rh}$ ･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{S:{\text{S}}^{\prime }=1:{k}^{2}}$

が成り立つ．

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最終更新日2023年10月3日