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complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

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応用分野：相似条件，

相似条件

■相似な平面図形の面積比

相似な三角形で，対応する部分の長さが $3$\displaystyle{k}$ 倍なら，面積は $3$\displaystyle{{k}^{2}}$ 倍である．

証明

$3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ と $3$\displaystyle{ \triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime } }$ が相似で， $3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ と $3$\displaystyle{ \triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime } }$ の相似比が $3$\displaystyle{1:k}$ のとき， $3$\displaystyle{\triangle \text{ABC}}$ の面積を $3$\displaystyle{S}$ ， $3$\displaystyle{ \triangle {\text{A}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }{\text{C}}^{\prime } }$ の面積を $3$\displaystyle{S\prime }$ とおく．

　

三角形の面積の公式より

$3$\displaystyle{S=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}ab\sin C}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{{{S}^{\prime }}^{}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}ka\cdot kb\cdot \sin {C}^{\prime }}$ 　･･････(2)

(2)を計算すると

$3$\displaystyle{{S}^{\prime }={k}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}ab\sin C}$

となり，これに(1)を代入すると

$3$\displaystyle{{S}^{\prime }={k}^{2}S}$

となる．よって

$3$\displaystyle{S:{S}^{\prime }=1:{k}^{2}}$

となる．

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最終更新日： 2025年4月27日