相似条件

■相似な立体の体積比

相似な立体で対応する部分の長さが $3$\displaystyle{k}$ 倍なら，体積は $3$\displaystyle{{k}^{3}}$ 倍である．

一例として，直方体で証明する．

下図において，直方体 $3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{{\text{P}}^{\prime }}$ は相似である．

$3$\displaystyle{\text{P}}$ と $3$\displaystyle{{\text{P}}^{\prime }}$ の相似比が $3$\displaystyle{1:k}$ のとき，

$3$\displaystyle{\text{P}}$ の体積を $3$\displaystyle{V}$ ， $3$\displaystyle{{\text{P}}^{\prime }}$ の体積を $3$\displaystyle{{V}^{\prime }}$ とおく．

$3$\displaystyle{V=abc}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{{V}^{\prime }=ka\cdot kb\cdot kc}$ $3$\displaystyle{={k}^{3}abc}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{V:{V}^{\prime }=1:{k}^{3}}$

となる．

最終更新日： 2025年4月27日