小数の基数表現

■小数の基数表現

基数での表現は整数のみではなく，小数でもできる．

整数と同じく重みという言葉を用い定義する．→基数

$3$\displaystyle{n}$ 進数の基数は $3$\displaystyle{n}$ であり，小数点第 $3$\displaystyle{k}$ 桁の重みは $3$\displaystyle{{n}^{ - k }}$ となる．

例えば，小数第3位までの $3$\displaystyle{n}$ 進小数は

$3$\displaystyle{0.ijk}$ $3$\displaystyle{=i\times {n}^{ - 1 }+j\times {n}^{ - 2 }+k\times {n}^{ - 3 }}$

( $3$\displaystyle{i,j,k}$ は， $3$\displaystyle{n}$ 進数で使われる $3$\displaystyle{0\sim n- 1}$ までの数)

を意味する．

10進小数0.123では

$3$\displaystyle{0.123=1\times {\text{10}}^{ - 1 }+2\times {\text{10}}^{ - 2 }+3\times {\text{10}}^{ - 3 }}$

$3$\displaystyle{=1\times \text{0}\text{.1}+2\times \text{0}\text{.01}+3\times \text{0}\text{.01}}$

である．

■2進小数

上記の定義より2進小数0.1101は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{ $ 0.1101 $ }_{2}=1\times {2}^{ - 1 }+1\times {2}^{ - 2 }}$ $3$\displaystyle{+0\times {2}^{ - 3 }}$ $3$\displaystyle{+1\times {2}^{ - 4 }}$

$3$\displaystyle{=0.5+0.25+0.0625}$

なお，10進数との対応を下の表に示す．

10進数	0.5	0.25	0.125	0.0625	0.03125
2進数	0.1	0.01	0.001	0.0001	0.00001

■2進小数→10進小数

変換する2進小数の各桁に重みを掛け求める．

【例】

$3$\displaystyle{\hspace{1}{ $ 0.1011 $ }_{2}}$ $3$\displaystyle{=1\times {2}^{ - 1 }+0\times {2}^{ - 2 }+1\times {2}^{ - 3 }+1\times {2}^{ - 4 }}$

$3$\displaystyle{=0.5+0.125+0.0625}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{ $ 0.6875 $ }_{ 10 }}$

■10進小数→2進小数

ある10進小数 $3$\displaystyle{ 0.\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{a}_{3}\cdots \hspace{1}{a}_{n} }$ を考える． $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1},\hspace{1}{a}_{2},\hspace{1}{a}_{3},\cdots ,\hspace{1}{a}_{n}}$ は1～9の自然数である．

この10進小数を2進少数に変換すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\left({ 0.\hspace{1}{a}_{1}\hspace{1}{a}_{2}\hspace{1}{a}_{3}\cdots \hspace{1}{a}_{n} }\right)}_{ 10 }=\hspace{1}{\left({ 0.\hspace{1}{b}_{1}\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{b}_{3}\cdots \hspace{1}{b}_{n} }\right)}_{2}}$ 　･･････(1)

となったとする． $3$\displaystyle{\hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{b}_{3},\cdots ,\hspace{1}{b}_{n}}$ は0か1である．

(i)

(1)の両辺を基数表現に直すと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\times {10}^{ - 1 }+\hspace{1}{a}_{2}\times {10}^{ - 2 }+\hspace{1}{a}_{3}\times {10}^{ - 3 }+\cdots +\hspace{1}{a}_{n}\times {10}^{ - n }}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{b}_{1}\times {2}^{ - 1 }+\hspace{1}{b}_{2}\times {2}^{ - 2 }+\hspace{1}{b}_{3}\times {2}^{ - 3 }+\cdots +\hspace{1}{b}_{n}\times {2}^{ - n }}$ 　･･････(2)

(2)の両辺を2倍する.

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\times {10}^{ - 1 }+2\hspace{1}{a}_{2}\times {10}^{ - 2 }+2\hspace{1}{a}_{3}\times {10}^{ - 3 }+\cdots +2\hspace{1}{a}_{n}\times {10}^{ - n }}$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{b}_{1}+\hspace{1}{b}_{2}\times {2}^{ - 1 }+\hspace{1}{b}_{3}\times {2}^{ - 2 }+\cdots +\hspace{1}{b}_{n}\times {2}^{ - 2 }}$ 　･･････(3)

(3)の左辺は

$3$\displaystyle{0< 2\hspace{1}{a}_{1}\times {10}^{ - 1 }+2\hspace{1}{a}_{2}\times {10}^{ - 2 }+2\hspace{1}{a}_{3}\times {10}^{ - 3 }+\cdots +2\hspace{1}{a}_{n}\times {10}^{ - n }< 2}$

となる．よって，(3)の左辺の10進数の整数部は1か0である．ここで，左辺の値が1より大きいなら(ii)，1より小さいなら(iii)の操作を行う．

なお(ii)と(iii)の操作後，右辺の小数点以下が0(言い換えると1)となれば(iv)へ.

(ii)

(3)の右辺は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\left({ \hspace{1}{b}_{1}.\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{b}_{3}\cdots \hspace{1}{b}_{n} }\right)}_{2}}$ となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\left({ \hspace{1}{b}_{1}.\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{b}_{3}\cdots \hspace{1}{b}_{n} }\right)}_{2}> 1}$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{b}_{1}=1}$

が得られる．

(3)の両辺から1を引いた後、左辺を10進小数に，右辺を2進小数に戻して改めて(1)とし，(i)に戻る．この時，2進小数は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\left({ 0.\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{b}_{3}\cdots \hspace{1}{b}_{n} }\right)}_{2}}$ である．

(iii)

(3)の右辺は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\left({ \hspace{1}{b}_{1}.\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{b}_{3}\cdots \hspace{1}{b}_{n} }\right)}_{2}}$ となる．

$3$\displaystyle{0< \hspace{1}{\left({ \hspace{1}{b}_{1}.\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{b}_{3}\cdots \hspace{1}{b}_{n} }\right)}_{2}< 1}$

より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{b}_{1}=0}$

が得られる．

(3)の左辺を10進小数に，右辺を2進小数に戻して改めて(1)とし，(i)に戻る．この時，2進小数は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\left({ 0.\hspace{1}{b}_{2}\hspace{1}{b}_{3}\cdots \hspace{1}{b}_{n} }\right)}_{2}}$ である．

(iv)

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{b}_{1}\sim \hspace{1}{b}_{n} }$ を小数点以下順番に並べると10進小数を2進小数で表せる．

以下に，計算例を示す．

ホーム>>カテゴリー別分類>>その他>>基数の定義

最終更新日：2023年10月6日