分母の有理化

分母の無理数である場合に分母を有理数にするための計算操作を分母の有理化という．分母を有理化する目的は，計算がより簡単になる場合が多いからである．

■ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{ $ a> 0 $ }$ の場合

分母，分子に $3$\displaystyle{ \sqrt{a} }$ をかけて有理化する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1\times \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a}\times \sqrt{a} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$

例）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2\times \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3}\times \sqrt{3} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2\sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a}\pm \sqrt{b} \hspace{2}}\text{\hspace{5}} $ a> 0\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }b> 0 $ }$ の場合

分母，分子に $3$\displaystyle{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}$ をかけて有理化する．乗法の公式 $3$\displaystyle{ $ x+y $ $ x- y $ ={x}^{2}- {y}^{2}}$ を利用する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a}\pm \sqrt{b} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 1\times \left({ \sqrt{a}\mp \sqrt{b} }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt{a}\pm \sqrt{b} }\right)\left({ \sqrt{a}\mp \sqrt{b} }\right) \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{a}\mp \sqrt{b} \hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}} }$

例）

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3}- \sqrt{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{2}\left({ \sqrt{3}+\sqrt{2} }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt{3}- \sqrt{2} }\right)\left({ \sqrt{3}+\sqrt{2} }\right) \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{6}+2 \hspace{2}}{\hspace{2} 3- 2 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sqrt{6}+2 \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{6}+2 }$

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最終更新日 2019年3月14日

分母の有理化

■ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{ \( a> 0 \) }$ の場合

■ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a}\pm \sqrt{b} \hspace{2}}\text{\hspace{5}} \( a> 0\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }b> 0 \) }$ の場合

分母の有理化

■， の場合

■ の場合

■ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{ \( a> 0 \) }$ の場合

■ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a}\pm \sqrt{b} \hspace{2}}\text{\hspace{5}} \( a> 0\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }b> 0 \) }$ の場合