三角関数計算の基礎

■関係式

$3$\sin $ - {\theta} $ =- \sin ${\theta}$$ ， $3$\displaystyle{\cos $ - {\theta} $ =\cos ${\theta}$ }$ ， $3$\displaystyle{\tan $ - {\theta} $ =- \tan {\theta}}$ ⇒導出
$3$\sin $ 90^\circ - {\theta} $ =\cos {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\cos $ 90^\circ - {\theta} $ =\sin {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 90^\circ - {\theta} $ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan {\theta} \hspace{2}}}$ ⇒導出（ここも参照）
$3$\sin $ 90^\circ +{\theta} $ =\cos {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\cos $ 90^\circ +{\theta} $ =- \sin {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 90^\circ +{\theta} $ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan {\theta} \hspace{2}}}$ ⇒導出
$3$\sin $ 180^\circ - {\theta} $ =\sin {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\cos $ 180^\circ - {\theta} $ =- \cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 180^\circ - {\theta} $ =- \tan {\theta}}$ ⇒導出
$3$\sin $ 180^\circ +{\theta} $ =- \sin {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\cos $ 180^\circ +{\theta} $ =- \cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 180^\circ +{\theta} $ =\tan {\theta}}$ ⇒導出

■sinとcosのグラフの関係

　sinとcosの関係式を理解するのに役に立つグラフである．

■導出

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin {\theta}=y& \vspace{6}\\ \cos {\theta}=x& \vspace{6}\\ \tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin $ - {\theta} $ =- y& \vspace{6}\\ \cos $ - {\theta} $ =x& \vspace{6}\\ \tan $ - {\theta} $ =\frac{\hspace{2} - y \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

よって

$3$\sin $ - {\theta} $ =- \sin ${\theta}$$ ， $3$\cos $ - {\theta} $ =\cos ${\theta}$$ , $3$\displaystyle{\tan $ - {\theta} $ =- \tan {\theta}}$

2.三角関数の定義より

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin {\theta}=y& \vspace{6}\\ \cos {\theta}=x& \vspace{6}\\ \tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin $ 90^\circ - {\theta} $ =x& \vspace{6}\\ \cos $ 90^\circ - {\theta} $ =y& \vspace{6}\\ \tan $ 90^\circ - {\theta} $ =\frac{\hspace{2} x \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

よって

$3$\sin $ 90^\circ - {\theta} $ =\cos {\theta}$ ， $3$\cos $ 90^\circ - {\theta} $ =\sin {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 90^\circ - {\theta} $ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan {\theta} \hspace{2}}}$

3.三角関数の定義より

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin {\theta}=y& \vspace{6}\\ \cos {\theta}=x& \vspace{6}\\ \tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin $ 90^\circ +{\theta} $ =x& \vspace{6}\\ \cos $ 90^\circ +{\theta} $ =- y& \vspace{6}\\ \tan $ 90^\circ +{\theta} $ =\frac{\hspace{2} x \hspace{2}}{\hspace{2} - y \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

よって

$3$\sin $ 90^\circ +{\theta} $ =\cos {\theta}$ ， $3$\cos $ 90^\circ +{\theta} $ =- \sin {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 90^\circ +{\theta} $ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan {\theta} \hspace{2}}}$

4.三角関数の定義より

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin {\theta}=y& \vspace{6}\\ \cos {\theta}=x& \vspace{6}\\ \tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin $ 180^\circ - {\theta} $ =y& \vspace{6}\\ \cos $ 180^\circ - {\theta} $ =- x& \vspace{6}\\ \tan $ 180^\circ - {\theta} $ =\frac{\hspace{2} y \hspace{2}}{\hspace{2} - x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

よって

$3$\sin $ 180^\circ - {\theta} $ =\sin {\theta}$ ， $3$\cos $ 180^\circ - {\theta} $ =- \cos {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 180^\circ - {\theta} $ =- \tan {\theta}}$

5.三角関数の定義より

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin {\theta}=y& \vspace{6}\\ \cos {\theta}=x& \vspace{6}\\ \tan {\theta}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\sin $ 180^\circ +{\theta} $ =- y& \vspace{6}\\ \cos $ 180^\circ +{\theta} $ =- x& \vspace{6}\\ \tan $ 180^\circ +{\theta} $ =\frac{\hspace{2} - y \hspace{2}}{\hspace{2} - x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

よって

$3$\sin $ 180^\circ +{\theta} $ =- \sin {\theta}$ ， $3$\cos $ 180^\circ +{\theta} $ =- \cos {\theta}$ ， $3$\displaystyle{\tan $ 180^\circ +{\theta} $ =\tan {\theta}}$

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最終更新日：2026年3月18日