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complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

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応用分野：極限 x→0　sinx/x，

弧度法の定義

右図のような扇型OABを考える．中心角 $3${\theta}$ は円弧の長さ $3$l$ に比例する．円弧の長さ $3$l$ と扇型の半径 $3$r$ の比をとると，同じ角度 $3${\theta}$ に対して扇型の大きさにかかわらずこの比は一定である．この性質を利用して角度の大きさを定めたのが弧度法で

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}l\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}}$ ･･････(1)

とする．単位はラジアン（rad）で，通常単位名のラジアンは省略する．この弧度法に対して，45°，60°と表現する方法を度数法という．

弧度法を用いると，(１)より円弧の長さ $3$l$ は

$3$l=r{\theta}$ （円弧の長さ＝半径×中心角）　･･････(2)

となり，とても簡単な式になる．

半径 $3$r=1$ のとき

(1)より

$3$l={\theta}$ （単位円の円弧の長さ＝中心角）　･･････(3)

となる．このことより弧度法を用いると

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1 }$ ここを参照

が導かれる．この関係より $3$\displaystyle{\sin x}$ の微分が $3$\displaystyle{\cos x}$ となり，三角関数の微分，積分が単純になる．

■度数法と弧度法の対比

度数法（単位：deg，度，°）　

弧度法（単位：rad，ラジアン)
0°

0
30°

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$
45°

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$
60°

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$
90°

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
180°

$3$\displaystyle{{\pi}}$
270°

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 3{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
360°

$3$\displaystyle{2{\pi}}$

参考：円周の長さ＝直径× $3$\displaystyle{{\pi}}$ （円周率）であるが，このことより度数法による360°が2 $3$\displaystyle{{\pi}}$ に対応する．

●度数法から弧度法に変換する式

弧度法の角度 $3$\displaystyle{\[\text{rad}\]=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2} 180^\circ \hspace{2}}\times }$ 度数法の角度

●弧度法から度数法に変換する式

度数法の角度 $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 180 \hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\times }$ 弧度法の角度 $3$\displaystyle{\[\text{rad}\]}$

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最終更新日： 2025年4月25日