極限 x →0　sinx /x

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1 }$

■解説動画

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■導出

I． $3$x> 0$ の場合

右のような図形を考える． $3$\displaystyle{\text{AB}=1}$ ， $3$\displaystyle{\angle \text{BAC}=x}$ （弧度法），弧 $3$\displaystyle{\text{BA}}$ は半径１の，弧 $3$\displaystyle{\text{EF}}$ は半径 $3$\displaystyle{\cos x}$ である．このとき，

$3$\displaystyle{\sin x}$ ＝ $3$\displaystyle{\text{DE}}$ ， $3$\displaystyle{x}$ ＝弧 $3$\displaystyle{\text{BD}}$

よって，図形を用いて説明すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=}$	$3$\displaystyle{\text{DE}}$
	弧 $3$\displaystyle{\text{BD}}$

となる．直感的に，この値は１より小さい値であるとわかる．

予備知識として，弧 $3$\displaystyle{\text{EF}}$ （ $3$\displaystyle{x\cos x}$ ）， $3$\displaystyle{\text{DE}}$ （ $3$\displaystyle{\sin x}$ ），弧 $3$\displaystyle{\text{BD}}$ （ $3$\displaystyle{x}$ ）， $3$\displaystyle{\text{BC}}$ （ $3$\displaystyle{\tan x}$ ）の長さの関係を導いておくことにする．

扇形 $3$\displaystyle{\text{AEF}}$ の面積＝ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x{ $ \cos x $ }^{2}}$ ，三角形 $3$\displaystyle{\text{AED}}$ ＝ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos x\sin x}$ ，三角形 $3$\displaystyle{\text{ABD}}$ ＝ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin x}$

扇形 $3$\displaystyle{\text{ABD}}$ の面積＝ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x}$ ，三角形 $3$\displaystyle{\text{ABC}}$ の面積＝ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan x}$

扇形 $3$\displaystyle{\text{AEF}}$ の面積＜三角形 $3$\displaystyle{\text{AED}}$ の面積より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x{ $ \cos x $ }^{2}< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos x\sin x\Rightarrow x\cos x< \sin x}$ ･･････(1)

三角形 $3$\displaystyle{\text{AEA}}$ の面積＜扇形 $3$\displaystyle{\text{ABD}}$ の面積＜三角形 $3$\displaystyle{\text{ABC}}$ の面積より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin x< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\tan x\Rightarrow \sin x< x< \tan x}$ ･･････(2)

(1)，(2)より

$3$x\cos x< \sin x< x< \tan x$ ･･････(3)

表現を変えると

弧 $3$\displaystyle{\text{EF}}$ （ $3$\displaystyle{x\cos x}$ ）の長さ＜ $3$\displaystyle{\text{DE}}$ （ $3$\displaystyle{\sin x}$ ）の長さ＜弧 $3$\displaystyle{\text{BD}}$ （ $3$\displaystyle{x}$ ）＜ $3$\displaystyle{\text{BC}}$ （ $3$\displaystyle{\tan x}$ ）の長さ　･･････(4)

となる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ を求めるとき，はさみうちの手法を用いることにする．(3)の左から3辺分の関係と $3$\displaystyle{ x> 0 }$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x\cos x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}< \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}< \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\Rightarrow \cos x< \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}< 1}$ ･･････(5)

となる．したがって， $3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ ならば， $3$\displaystyle{\cos x\rightarrow 1}$ となり

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$

が導かれる．また，(3)の右から3辺分の関係と $3$\sin x> 0$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}< \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}< \frac{\hspace{2} \tan x \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{\Rightarrow \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \tan x \hspace{2}}< \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}< \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{\Rightarrow \cos x< \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}< 1}$

･･････(5)

となり同様にして

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ ･･････(7)

が導かれる．

II． $3$x< 0$ の場合

$3$x< 0$ とし， $3$x=- t$ とおく． $3$t> 0$ ，かつ， $3$x\rightarrow 0$ のとき $3$t\rightarrow 0$ である．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin \left({ - t }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} - t \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} - \sin t \hspace{2}}{\hspace{2} - t \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin t \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}=1}$