グリーンの定理

$3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面上において $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ を有界な領域とする． $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする．この境界を $3$\displaystyle{C\text{\hspace{1} }}$ とし，正の向きを定める．関数 $3$\displaystyle{f $ x,y $ ,\text{\hspace{1} }g $ x,y $ \text{\hspace{1} }}$ が閉領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ で1回微分可能であるならば，次式が成り立つ．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D}\text{\hspace{1} } $ \hspace{1}{g}_{x} \( x,y $ - \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ \) dxdy =\hspace{1}{\int }_{C}\text{\hspace{1} } $ f \( x,y $ dx+g $ x,y $ dy \) }$

■導出

閉領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ が縦線形領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1}}:}$ $3$\displaystyle{a\leq x\leq b}$ ， $3$\displaystyle{{\psi} $x$ \leq y\leq {\phi} $x$ \text{\hspace{1} }}$ であるならば

$3$\displaystyle{- \displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y}\text{\hspace{1} } $ x,y $ dxdy }=\displaystyle{ \hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}}$ 　　･･････(1)　⇒ 導出

同様に，横線形領域 $3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{:c\leq y\leq d}$ ， $3$\displaystyle{{\xi} $y$ \leq x\leq {\zeta} $y$ }$ であるならば

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{g}_{x} $ x,y $ dxdy }=\displaystyle{ \hspace{1}{\int }_{C} g $ x,y $ dy }}$ 　　･･････(2)　⇒ 導出

が成り立つ．

(1)，(2)の辺々を加えると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{g}_{x} $ x,y $ dxdy - \hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dxdy }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx +\hspace{1}{\int }_{C} g $ x,y $ dy }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} $ \hspace{1}{g}_{x} \( x,y $ - \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ \) dxdy }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{C} $ f \( x,y $ dx+g $ x,y $ dy \) }$

が得られる．

ホーム>>カテゴリー別分類>>積分>>重積分>>グリーンの定理

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年8月2日