グリーンの定理（補題1）

$3$\displaystyle{xy\text{\hspace{1} }}$ 平面上において $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ を有界な領域とする． $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ の境界は有限個の区分的に滑らかな閉曲線からなるものとする．この境界を $3$\displaystyle{\text{C}\text{\hspace{1} }}$ とし，正の向きを定める．閉領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ が縦線形領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1}}:}$ $3$\displaystyle{a\leq x\leq b}$ ， $3$\displaystyle{{\psi} $x$ \leq y\leq {\phi} $x$ \text{\hspace{1} }}$ と表せ，2変数関数 $3$\displaystyle{f $ x,y $ \text{\hspace{1} }}$ が閉領域 $3$\displaystyle{D\text{\hspace{1} }}$ で1回微分可能であるならば次式が成り立つ．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dxdy =- \hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx }$ 　･･････(1)

■導出

領域を図示すると図のようになる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dxdy }$ を累次積分(重積分)と考えて式を変形すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dxdy }$ $3$\displaystyle{=\int _{a}^{b}\text{\hspace{1} } $ \int _{ {\psi} \(x$ }^{ {\phi} $x$ } \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dy \) dx }$

$3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ を固定して $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ \text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ で積分する

$3$\displaystyle{=\int _{a}^{b}\text{\hspace{1} } $ \[ f \( x,y $ \] _{ {\psi} $x$ }^{ {\phi} $x$ } \) dx }$

$3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ は固定しているので $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ のみが変化する

$3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} \{ f $ x,{\phi} \(x$ \) - f $ x,{\psi} \(x$ \) \} dx }$

定積分の基本式を使用して2つの積分に分ける

$3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} f $ x,{\phi} \(x$ \) dx - \int _{a}^{b} f $ x,{\psi} \(x$ \) dx\text{\hspace{1} } }$ 　･･････(2)

次に，線積分と考えて式を変形する．

境界 $3$\displaystyle{C}$ において点 $3$\text{A}\rightarrow$ 点 $3$\text{B}\rightarrow$ 点 $3$\text{C}\rightarrow$ 点 $3$\text{D}\rightarrow$ 点 $3$\text{E}\rightarrow$ 点 $3$\text{F}\rightarrow$ 点 $3$\text{G}\rightarrow$ 点 $3$\text{H}\rightarrow$ 点 $3$A$ と一周する経路を正の向きとする．

点 $3$\displaystyle{\text{A}\text{\hspace{1} }}$ から点 $3$\displaystyle{\text{D}\text{\hspace{1} }}$ に至る経路を $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}}$
点 $3$\displaystyle{\text{D}\text{\hspace{1} }}$ から点 $3$\displaystyle{\text{E}\text{\hspace{1} }}$ に至る経路を $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{2}}$
点 $3$\displaystyle{\text{E}\text{\hspace{1} }}$ から点 $3$\displaystyle{\text{H}\text{\hspace{1} }}$ に至る経路を $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{3}}$
点 $3$\displaystyle{\text{H}\text{\hspace{1} }}$ から点 $3$\displaystyle{\text{A}\text{\hspace{1} }}$ に至る経路を $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{4}}$

とすると，境界 $3$\displaystyle{C\text{\hspace{1} }}$ に沿った線積分は次のように表せる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f $ x,y $ dx }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{2} } f $ x,y $ dx }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{3} } f $ x,y $ dx }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{4} } f $ x,y $ dx }$ 　･･････(3)

右辺の各項について考える．

[1] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{x=t\text{\hspace{1} }}$ とおいて， $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}}$ を変数 $3$\displaystyle{t\text{\hspace{1} }}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{ \{ $ t,{\psi} \(t$ \) ;t\in\hspace{5} \[ a,b \] \} }$ 　･･････(4)

となる．

この曲線上において $3$\displaystyle{t\text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{a\text{\hspace{1} }}$ から $3$\displaystyle{b\text{\hspace{1} }}$ に変化させると，点 $3$\displaystyle{\left({ t,{\psi}\left({t}\right) }\right)}$ は経路 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{1}}$ に沿って点 $3$\displaystyle{\text{A}\text{\hspace{1} }}$ から点 $3$\displaystyle{\text{D}\text{\hspace{1} }}$ に移動することから，線積分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}$ を積分変数が $3$\displaystyle{t}$ の定積分に置換すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f $ x,y $ dx =\int _{a}^{b} f $ t,{\psi} \(t$ \) \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ 　･･････(5)

ここで， $3$\displaystyle{x=t\text{\hspace{1} }}$ であるから

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=1}$ 　･･････(6)

となる．(6)を(5)に代入すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f $ x,y $ dx =\int _{a}^{b} f $ t,{\psi} \(t$ \) dt }$ 　･･････(7)

[2] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{2} } f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}$

経路 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{2}}$ において， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ は常に $3$\displaystyle{x=b\text{\hspace{1} }}$ である．

よって， $3$\displaystyle{y=t\text{\hspace{1} }}$ とおいて， $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{2}}$ を変数 $3$\displaystyle{t\text{\hspace{1} }}$ および定数 $3$\displaystyle{b\text{\hspace{1} }}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{ \{ $ b,t $ ;t\in\hspace{5} \[ {\psi} $b$ ,{\phi} $b$ \] \} }$ 　･･････(8)

[1]と同様に積分変数が $3$\displaystyle{t}$ の定積分に置換すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f $ x,y $ dx =\int _{ {\psi} $x$ }^{ {\phi} $x$ } f $ b,t $ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ 　･･････(9)

となる． $3$\displaystyle{x=b\text{\hspace{1} }}$ と一定であるから，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=0}$ 　･･････(10)

となる．よって，(9)は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{2} } f $ x,y $ dx =\int _{ {\psi} $x$ }^{ {\phi} $x$ } f $ b,t $ \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt =0}$ 　･･････(11)

となる．

[3] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{3} } f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}$

[1]と同様に $3$\displaystyle{x=t\text{\hspace{1} }}$ とおいて $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{3}}$ を変数 $3$\displaystyle{t\text{\hspace{1} }}$ を用いて表すと

$3$\displaystyle{ \{ $ t,{\phi} \(t$ \) ;t\in\hspace{5} \[ a,b \] \} }$ 　･･････(12)

となる．

この曲線上において $3$\displaystyle{t\text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{b\text{\hspace{1} }}$ から $3$\displaystyle{a\text{\hspace{1} }}$ に変化させると，経路 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{3}}$ に沿って点 $3$\displaystyle{\left({ t,{\phi}\left({t}\right) }\right)}$ は点 $3$\displaystyle{\text{E}}$ から点 $3$\displaystyle{\text{H}}$ に移動することから，線積分 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{3} } f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}$ を積分変数が $3$\displaystyle{t}$ の定積分に置換すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{3} } f $ x,y $ dx }$ $3$\displaystyle{=\int _{b}^{a} f $ t,{\phi} \(t$ \) \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{=- \int _{a}^{b} f $ t,{\phi} \(t$ \) \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}dt }$ 　･･････(13)

となる． $3$\displaystyle{x=t\text{\hspace{1} }}$ であるから

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=1}$ 　･･････(14)

となる．(14)を(13)に代入すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{3} } f $ x,y $ dx =- \int _{a}^{b} f $ t,{\phi} \(t$ \) dt }$ 　･･････(15)

となる．

[4] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{4} } f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}$

経路 $3$\displaystyle{\hspace{1}{C}_{4}}$ において， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ は常に $3$\displaystyle{x=a\text{\hspace{1} }}$ である．

よって，[2]と同様に

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=0}$ 　･･････(16)

となる．よって，(14)は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{4} } f $ x,y $ dx =0}$ 　･･････(17)

となる．

[1]，[2]，[3]，[4]より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f $ x,y $ dx +\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{2} } f $ x,y $ dx +\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{3} } f $ x,y $ dx +\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{4} } f $ x,y $ dx }$

$3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} f $ t,{\psi} \(t$ \) dt +0- \int _{a}^{b} f $ t,{\phi} \(t$ \) dt +0}$

$3$\displaystyle{=\int _{a}^{b} f $ t,{\psi} \(t$ \) dt - \int _{a}^{b} f $ t,{\phi} \(t$ \) dt }$

$3$\displaystyle{=- \[ \int _{a}^{b} f $ t,{\phi} \(t$ \) dt - \int _{a}^{b} f $ t,{\psi} \(t$ \) dt \] }$ 　･･････(18)

累次積分と線積分による解をまとめると

累次積分による解((2)を再掲載)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dxdy =\int _{a}^{b} f $ x,{\phi} \(x$ \) dx - \int _{a}^{b} f $ x,{\psi} \(x$ \) dx }$ 　･･････(19)

線積分による解((16)を再掲載)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx =- \[ \int _{a}^{b} f $ t,{\phi} \(t$ \) dt - \int _{a}^{b} f $ t,{\psi} \(t$ \) dt \] }$ 　･･････(20)

(20)に(19)を代入すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx \text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dxdy }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dxdy }$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{\int }_{C} f $ x,y $ dx }$ 　･･････(21)

が得られる．

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学生スタッフ作成
最終更新日：2024年10月7日

グリーンの定理（補題1）

■導出

[1] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{1} } f \( x,y \) dx \text{\hspace{1} }}$

[2] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{2} } f \( x,y \) dx \text{\hspace{1} }}$

[3] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{3} } f \( x,y \) dx \text{\hspace{1} }}$

[4] $3$\displaystyle{\hspace{1}{\int }_{ \hspace{1}{C}_{4} } f \( x,y \) dx \text{\hspace{1} }}$