重積分の定義

2変数関数 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ は境界を含む領域 $3$\displaystyle{D}$ （水色の部分）で定義されている．

領域 $3$\displaystyle{D}$ は，長方形領域 $3$\displaystyle{R= \{ $ x,y $ \| a\leq x\leq b,c\leq y\leq d \} }$ に含まれるものとする．

$3$\displaystyle{x}$ 成分の区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ を

$3$\displaystyle{a=\hspace{1}{x}_{0}< \hspace{1}{x}_{1}< \cdots < \hspace{1}{x}_{ m- 1 }< \hspace{1}{x}_{m}=b}$

となる $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{i} $ i=0,1,2,\cdots ,m $ }$ で $3$\displaystyle{m}$ 個の小区間に分割し， $3$\displaystyle{y}$ 成分の区間 $3$\displaystyle{ \[ c,d \] }$ を

$3$\displaystyle{c=\hspace{1}{y}_{0}< \hspace{1}{y}_{1}< \cdots < \hspace{1}{y}_{ n- 1 }< \hspace{1}{y}_{n}=d}$

となる $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{j} $ j=0,1,2,\cdots ,n $ }$ で $3$\displaystyle{n}$ 個の小区間に分割する．

領域 $3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{ ij }}$ を

$3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{ ij }= \{ $ x,y $ \| \hspace{1}{x}_{ i- 1 }\leq x\leq \hspace{1}{x}_{i},\hspace{1}{y}_{ j- 1 }\leq y\leq \hspace{1}{y}_{j} \} }$

と定義し， $3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{ ij }}$ の面積を $3$\displaystyle{{\Delta}\hspace{1}{S}_{ ij }}$ とする．また $3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{{\xi}}_{i},\hspace{1}{{\eta}}_{i} $ \in \hspace{1}{R}_{ ij }}$ とする．

領域 $3$\displaystyle{D}$ に含まれる $3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{ ij }}$ に関して

$3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{{\xi}}_{i},\hspace{1}{{\eta}}_{i} $ {\Delta}\hspace{1}{S}_{ ij }}$

を足し合わせた値

$3$\displaystyle{\hspace{1}{V}_{ mn }=\displaystyle{{\sum }\limits_{i} \displaystyle{{\sum }\limits_{j} f $ \hspace{1}{{\xi}}_{i},\hspace{1}{{\eta}}_{i} $ {\Delta}\hspace{1}{S}_{ ij } } }}$

を考える．

分割数 $3$\displaystyle{m,n}$ を大きくしていくと，分割の仕方および $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\xi}}_{i},\hspace{1}{{\eta}}_{i}}$ のとり方に関係なくある値 $3$\displaystyle{V}$ に収束するなら，式で表すと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{V}_{ mn }={ \lim }\limits_{\begin{array}{lll} m\rightarrow \infty & \vspace{6}\\ n\rightarrow \infty & \vspace{6}\\ \end{array}}\displaystyle{{\sum }\limits_{i} \displaystyle{{\sum }\limits_{j} f $ \hspace{1}{{\xi}}_{i},\hspace{1}{{\eta}}_{i} $ {\Delta}\hspace{1}{S}_{ ij } } }}$

となるなら， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ は領域 $3$\displaystyle{D}$ において積分可能であるといい

$3$\displaystyle{V=\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} f $ x,y $ }dxdy}$

と表す．

この極値 $3$\displaystyle{V}$ を $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ の $3$\displaystyle{D}$ における2重積分という．

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最終更新日： 2025年4月27日