重積分の応用

平均値
$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{\int\int }_{D} f $ x,y $ dxdy \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{\int\int }_{D} dxdy \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{\int\int\int }_{E} f $ x,y,z $ dxdydz \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{\int\int\int }_{E} dxdydz \hspace{2}}}$

をそれぞれ， $3$\displaystyle{D}$ ， $3$\displaystyle{E}$ における $3$\displaystyle{f $ x,y $ ,f $ x,y,z $ }$ の平均値という
平面領域の重心
$3$\displaystyle{D}$ の質量 $3$\displaystyle{M}$ は

$3$\displaystyle{ M=\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} {\rho}\left({ x,y }\right)dxdy } }$

$3$\displaystyle{D}$ の重心 $3$\displaystyle{G $ \bar{x},\bar{y} $ }$ は

$3$\displaystyle{\bar{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}M\hspace{2}}\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} x{\rho}\left({ x,y }\right)dxdy }}$ ， $3$\displaystyle{\bar{y}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}M\hspace{2}}\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} y{\rho}\left({ x,y }\right)dxdy }}$
空間の領域の重心
$3$\displaystyle{E}$ の質量は

$3$\displaystyle{M=\hspace{1}{\int\int\int }_{E} {\rho} $ x,y,z $ dxdydz }$

$3$\displaystyle{E}$ の重心 $3$\displaystyle{G $ \bar{x},\bar{y},\bar{z} $ }$ は

$3$\displaystyle{ \bar{x}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}M\hspace{2}}\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} x{\rho} $ x,y,z $ dxdydz } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{ \bar{y}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}M\hspace{2}}\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} y{\rho} $ x,y,z $ dxdydz } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{ \bar{z}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}M\hspace{2}}\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} z{\rho} $ x,y,z $ dxdydz } }$
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慣性モーメント
直線lのまわりの慣性モーメント $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{l}}$ は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{I}_{l}=\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} {\rho} $ x,y,z $ P{ $ x,y,z $ }^{2}dxdydz } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} {\rho}{P}^{2}dxdydz } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

とくに， $3$x$ 軸， $3$y$ 軸， $3$z$ 軸のまわりの慣性モーメントはそれぞれ $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{x}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{y}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{z}}$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{I}_{x}=\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} {\rho}\cdot $ {y}^{2}+{z}^{2} $ dxdydz } }$
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， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{I}_{y}=\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} {\rho}\cdot $ {x}^{2}+{z}^{2} $ dxdydz } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{I}_{z}=\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{E} {\rho}\cdot $ {x}^{2}+{y}^{2} $ dxdydz } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
平面領域の慣性モーメント
$3$xy$ 平面上の領域 $3$\displaystyle{D}$ の空間にある直線 $3$l$ のまわりの慣性モーメント $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{l}}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{l}=\hspace{1}{\int\int }_{D} {\rho} $ x,y $ p{ $ x,y $ }^{2}dxdy }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{\int\int }_{D} {\rho}\cdot {p}^{2} dxdy}$

とくに，座標軸のまわりの慣性モーメントは

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{x}=\hspace{1}{\int\int }_{D} {\rho}\cdot {y}^{2}dxdy }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{y}=\hspace{1}{\int\int }_{D} {\rho}\cdot {x}^{2}dxdy }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{I}_{z}=\hspace{1}{\int\int }_{D} {\rho}\cdot $ {x}^{2}+{y}^{2} $ dxdy=\hspace{1}{I}_{x}+\hspace{1}{I}_{y}}$

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最終更新日： 2024年10月7日