重積分における変数変換

2重積分の変数変換
$3$\displaystyle{x=x\left({ u,v }\right)}$ ， $3$\displaystyle{y=y\left({ u,v }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)\in D}$ ， $3$\displaystyle{\left({ u,v }\right)\in {D}^{\prime }}$

によって $3$uv$ 平面の集合 $3${D}^{\prime }$ が $3$xy$ 平面の集合 $3$\displaystyle{D}$ に1対1に移るとすれば

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} f\left({ x,y }\right)dxdy }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{{D}^{\prime }} f\left({ x\left({ u,v }\right),y\left({ u,v }\right) }\right)\left|{J}\right|dudv }}$

の関係がある．⇒ 導出
3重積分の変数変換

$3$\displaystyle{x=x\left({ u,v,w }\right)}$ ， $3$\displaystyle{y=y\left({ u,v,w }\right)}$ ， $3$\displaystyle{z=z\left({ u,v,w }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ x,y,z }\right)\in D}$ ， $3$\displaystyle{\left({ u,v,w }\right)\in {D}^{\prime }}$

によって $3$uvw$ 空間の集合 $3${D}^{\prime }$ が $3$xyz$ 空間の集合 $3$\displaystyle{D}$ に1対1に移るとすれば

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{D} f\left({ x,y,z }\right)dxdydz }}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{{D}^{\prime }} f\left({ x\left({ u,v,w }\right),y\left({ u,v,w }\right),z\left({ u,v,w }\right) }\right)\left|{J}\right|dudvdw }}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

の関係がある．
座標変換の関数行列式
$3$\displaystyle{x=r\cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}}$ のとき $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial} $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial} $ r,{\theta} $ \hspace{2}}=r}$

$3$\displaystyle{x=r\cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{z=z}$ のとき $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial} $ x,y,z $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial} $ r,{\theta},z $ \hspace{2}}=r}$

$3$\displaystyle{x=r\sin {\theta}\cos {\phi}}$ ， $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}\sin {\phi}}$ ， $3$\displaystyle{z=r\cos {\theta}}$ のとき $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial} $ x,y,z $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial} $ r,{\theta},{\phi} $ \hspace{2}}={r}^{2}\sin {\theta}}$
極座標に関する2重積分

$3$\displaystyle{x=r\cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}}$ $3$\displaystyle{ $ r\geq 0 $ }$ によって $3$\displaystyle{r{\theta}}$ 平面の集合 $3${D}^{\prime }$ が $3$xy$ 平面の集合 $3$\displaystyle{D}$ に1対1に移れば

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} f $ x,y $ dxdy}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\int\int }_{ {D}^{\prime } } f $ r\cos {\theta},r\sin {\theta} $ rdrd{\theta}}$

の関係がある．

円柱座標に関する3重積分
$3$\displaystyle{x=r\cos {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{z=z}$ $3$\displaystyle{ $ r\geq {\theta} $ }$ によって集合 $3$\displaystyle{{D}^{\prime }}$ の要素 $3$\displaystyle{ $ r,{\theta},z $ }$ が集合 $3$\displaystyle{D}$ の要素 $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ に1対1の対応で移るとき

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int\int }_{D} f $ x,y,z $ dxdydz }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{\int\int\int }_{ {D}^{\prime } } f $ r\cos {\theta},r\sin {\theta},z $ rdrd{\theta}dz }$

の関係がある．
球座標に関する3重積分

$3$\displaystyle{ x=r\sin {\theta}\cos {\phi} }$ ， $3$\displaystyle{ y=r\sin {\theta}\sin {\phi} }$ ， $3$\displaystyle{ z=r\cos {\theta} }$ $3$\displaystyle{ $ r\geq 0,0\leq {\theta}\leq {\pi},0\leq {\phi}\leq 2{\pi} $ }$ によって集合 $3$\displaystyle{{D}^{\prime }}$ の要素 $3$\displaystyle{ $ r,{\theta},{\phi} $ }$ が集合 $3$\displaystyle{D}$ の要素 $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ に1対1の対応で移るとき

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{D} f $ x,y,z $ dxdydz } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \hspace{1}{∭}_{{D}^{\prime }} f $ r\sin {\theta}\cos {\phi},r\sin {\theta}\sin {\phi},r\cos {\theta} $ {r}^{2}\sin {\theta}drd{\theta}d{\phi} } }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

の関係がある．

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最終更新日： 2025年4月26日