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重積分の基本公式

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} kf \( x,y \) dxdy}$ $3$\displaystyle{=k\hspace{1}{\int\int }_{D} f \( x,y \) dxdy}$
$3$\displaystyle{ {\displaystyle{\int\int }}\limits_{D} \{ f \( x,y \) d\pm g \( x,y \) \} dxdy }$ $3$\displaystyle{ ={\displaystyle{\int\int }}\limits_{D}f \( x,y \) dxdy\pm {\displaystyle{\int\int }}\limits_{D}g \( x,y \) dxdy }$
領域 $3$\displaystyle{D}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{D}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{D}_{2}}$ に分割する場合
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} f \( x,y \) dxdy }$ $3$\displaystyle{ = \hspace{1}{\int\int }_{ D1 } f \( x,y \) dxdy+\hspace{1}{\int\int }_{ D2 } f \( x,y \) dxdy}$
領域 $3$\displaystyle{D}$ 上で， $3$\displaystyle{f \( x,y \) \geq g \( x,y \) }$ ならば
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} f \( x,y \) dxdy}$ $3$\displaystyle{\geq \hspace{1}{\int\int }_{D} g \( x,y \) dxdy}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{D} f \( x,y \) dxdy\leq \| \hspace{1}{\int\int }_{D} f \( x,y \) dxdy \| \leq \hspace{1}{\int\int }_{D} \| f \( x,y \) \| dxdy}$

$3$\displaystyle{K}$ を長方形： $3$\displaystyle{a\leq x\leq b,c\leq y\leq d}$ とするとき
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{k} f \( x,y \) dxdy=\int _{c}^{d} \{ \int _{a}^{b} f \( x,y \) dx \} dy}$

または

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int }_{k} f \( x,y \) dxdy=\int _{a}^{b} \{ \int _{c}^{d} f \( x,y \) dy \} dx}$
$3$\displaystyle{K}$ を3次元の直方体 $3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{1}\leq x\leq \hspace{1}{b}_{1},\hspace{1}{a}_{2}\leq y\leq \hspace{1}{b}_{2},\hspace{1}{a}_{3}\leq z\leq \hspace{1}{b}_{3}}$ とするとき
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\int\int\int }_{K} f \( x,y,z \) dxdydz}$ $3$\displaystyle{=\int _{ \hspace{1}{a}_{3} }^{ \hspace{1}{b}_{3} } dz \int _{ \hspace{1}{a}_{2} }^{ \hspace{1}{b}_{2} } dy \int _{ \hspace{1}{a}_{1} }^{ \hspace{1}{b}_{1} } f \( x,y,z \) dx}$

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最終更新日： 2025年4月26日