体積・曲面積

体積，曲面積は重積分により求めることができる．

体積の公式
$3$\displaystyle{V=\hspace{1}{\int\int }_{D} f $ x,y $ dxdy}$
断面積の積分
$3$\displaystyle{D:a\leq x\leq b,{\phi} $x$ \leq y\leq {\psi} $x$ }$ ならば，曲面 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ \geq 0}$ までの $3$\displaystyle{D}$ の上の部分の体積 $3$\displaystyle{V}$ は

$3$\displaystyle{V=\int _{a}^{b} S $x$ dx,S $x$ }$ $3$\displaystyle{=\int _{ {\phi} $x$ }^{ {\psi} $x$ } f $ x,y $ dy }$
面積・体積
$3$\displaystyle{D}$ が平面上の集合ならば， $3$\displaystyle{D}$ の面積 $3$\displaystyle{A $D$ }$ は

$3$\displaystyle{ A\left({D}\right)=\displaystyle{ \hspace{1}{\int\int }_{D} dxdydz } }$

$3$\displaystyle{D}$ が空間の集合ならば， $3$\displaystyle{D}$ の体積 $3$\displaystyle{V $D$ }$ は

$3$\displaystyle{V $D$ =\hspace{1}{\int\int\int }_{D} dxdydz }$
表面積
曲面 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ の $3$\displaystyle{D}$ 上の部分の表面積 $3$\displaystyle{S}$ は

$3$\displaystyle{S=\hspace{1}{\int\int }_{D} \sqrt{ 1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2} }dxdy }$
極座標による表面積
$3$\displaystyle{ x=r\cos {\theta} }$ ， $3$\displaystyle{ y=r\sin {\theta} }$ $3$\displaystyle{ $ r\geq 0 $ }$ によって $3$xy$ 平面上の集合 $3$\displaystyle{D}$ が $3$\displaystyle{r{\theta}}$ 平面の集合 $3$\displaystyle{D\prime }$ に移れば，曲面 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ の $3$\displaystyle{D}$ 上にある部分の表面積 $3$\displaystyle{S}$ は

$3$\displaystyle{S=\hspace{1}{\int\int }_{ D\prime } \sqrt{ {r}^{2}+{ $ r\hspace{1}{z}_{r} $ }^{2}+z_{{\theta}}^{2} } drd{\theta}}$
回転面の表面積 $3$xy$ 平面上の曲線 $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ $3$\displaystyle{ $ a\leq x\leq b $ }$ が $3$x$ 軸のまわりに回転してできる回転面の表面積 $3$\displaystyle{S}$ は
$3$\displaystyle{S=2{\pi}\int _{a}^{b} f $x$ \sqrt{ 1+f\prime { $x$ }^{2} }dx}$

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最終更新日： 2025年4月26日