指数関数

$3$ a> 0$ ， $3$\displaystyle{ a\neq 1 }$ とするとき， $3$x$ の関数

$3$\displaystyle{ y={a}^{x} }$

を $3$a$ を底とする指数関数という．

（任意の $3$x$ に対して $3$\displaystyle{ {a}^{x} }$ の値が定まるので， $3$\displaystyle{ {a}^{x} }$ は $3$x$ の関数である）

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$3$x$ の値が増加すれば， $3$y$ の値も増加する単調増加である（単調増加関数）．

すなわち，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1}> \hspace{1}{x}_{2}\Leftrightarrow {a}^{ \hspace{1}{x}_{1} }> {a}^{ \hspace{1}{x}_{2} } }$

（大小関係はかわらない）

$3$x$ の値が減少すると，グラフは $3$x$ 軸に限りなく近づく（ $3$x$ 軸が漸近線）

$3$x$ の値が増加すれば， $3$y$ の値は減少する単調減少である（単調減少関数）．　

すなわち，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1}> \hspace{1}{x}_{2}\Leftrightarrow {a}^{ \hspace{1}{x}_{1} }< {a}^{ \hspace{1}{x}_{2} } }$

（大小関係は逆になる）

$3$x$ の値が増加すると，グラフは $3$x$ 軸に限りなく近づく（ $3$x$ 軸が漸近線）

定義域：実数全体　，　値域：正の数全体
グラフは点 $3$\displaystyle{ $ 0,1 $ }$ を通る．
$3$\displaystyle{ {a}^{ \hspace{1}{x}_{1} }={a}^{ \hspace{1}{x}_{2} }\Leftrightarrow \hspace{1}{x}_{1}=\hspace{1}{x}_{2} }$ （ $3$\displaystyle{y={a}^{x}}$ は単調増加あるいは単調減少するので， $3$x$ と $3$y$ は1対1の関係であることによる．）
$3$\displaystyle{ y={a}^{x} }$ と $3$\displaystyle{ y={ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ }^{x} }$ すなわち， $3$\displaystyle{ y={a}^{x} }$ と $3$\displaystyle{ y={a}^{ - x } }$ は $3$y$ 軸に対して対称である．

具体的な指数関数のグラフを示す．

最終更新日： 2025年11月29日