対数方程式の解法

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底をそろえる（対数計算の手順に従う）．
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}x=\hspace{1}{\log }_{a}k}$ の形に式を導びく．導けない場合は3へ

答えは $3$\displaystyle{ x=k }$
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}f $x$ =\hspace{1}{\log }_{a}k}$ の形に式を導びく．導けない場合は4へ

答えは $3$\displaystyle{ f $x$ =k }$ を解くことによって得られる．
方程式が上記の形に導けない場合は， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}x=t}$ とおいて整式に帰着する．

まず $3$t$ について解き，得られた $3$t$ より $3$x$ を求める．

例： $3$\displaystyle{{ $ \hspace{1}{ \log }_{2}x $ }^{2}+\hspace{1}{\log }_{2}4{x}^{3}=0}$

この場合， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x}$ に着目し， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x=t}$ とおいて与式を以下のように解く

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \begin{array}{lll}{ $ \hspace{1}{ \log }_{ 2 }x $ }^{ 2 }+\hspace{1}{ \log }_{ 2 }4{ x }^{ 3 }=0& \vspace{6}\\ { $ \hspace{1}{ \log }_{ 2 }x $ }^{ 2 }+\hspace{1}{ \log }_{ 2 }4+\hspace{1}{ \log }_{ 2 }{ x }^{ 3 }=0& \vspace{6}\\ { $ \hspace{1}{ \log }_{ 2 }x $ }^{ 2 }+3\hspace{1}{ \log }_{ 2 }x+\hspace{1}{ \log }_{ 2 }4=0& \vspace{6}\\ { t }^{ 2 }+3t+2=0& \vspace{6}\\ $ t+2 $ $ t+1 $ =0& \vspace{6}\\ t=- 1,- 2& \vspace{6}\\ \end{array} } }$
- $3$\displaystyle{ t=- 1 }$ のとき
  
  $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x=- 1\rightarrow x={2}^{ - 1 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$
- $3$\displaystyle{ t=- 2 }$ のとき
  
  $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x=- 2\rightarrow x={2}^{ - 2 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$
よって，

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$
真数条件(真数が正である条件)を満たしていることを確認する．満たしていないものは除外する．

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最終更新日： 2024年11月1日