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number & formula	function	geometry	power & logarithm	vector	trigonometric function
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応用分野：対数微分法，微分　logx，自然対数，大小比較，指数と対数の関係式，対数関数，常用対数，対数の性質の証明I，対数の性質の証明I，対数の性質の証明I，

対数の定義

$3$ a> 0$ ， $3$\displaystyle{ a\neq 1 }$ とするとき，どのような正の数 $3$R$ に対しても

$3$\displaystyle{ {a}^{r}=R }$

を満たす実数 $3$r$ が，ただ1つ定まる（参照）．この $3$r$ の値を， $3$a$ を底とする $3$R$ の対数といい

$3$\displaystyle{r=\hspace{1}{\log }_{a}R}$

で表す． $3$R$ をこの対数の真数といい，

$3$\displaystyle{R> 0}$

である． $3$\displaystyle{R> 0}$ のことを真数条件という．

対数の定義より，指数と対数の間には

$3$\displaystyle{r=\hspace{1}{\log }_{a}R\text{\hspace{5}}\Leftrightarrow \text{\hspace{5}}{a}^{r}=R}$

となる関係が成り立つ．

■関連動画

■対数の性質

$3$a> 0$ ， $3$a\neq 1$ ， $3$R> 0$ ， $3$S> 0$ とするとき

$3$\hspace{1}{\log }_{a}RS=\hspace{1}{\log }_{a}R+\hspace{1}{\log }_{a}S$ ⇒証明
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}R- \hspace{1}{\log }_{a}S}$ ⇒証明
$3$\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R$ ⇒証明
$3$\hspace{1}{\log }_{a}a=1$ $3$\displaystyle{ \( {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {a}^{1}=a \) }$ ⇒ 証明
$3$\hspace{1}{\log }_{a}1=0$ $3$\displaystyle{ \( {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {a}^{0}=1 \) }$ ⇒ 証明
$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}R=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}R \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}a \hspace{2}}}$ ⇒証明

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最終更新日： 2025年4月26日