底の変換公式の証明

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}R=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}R \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}a \hspace{2}}}$

■証明

変換したい底の値を $3$\displaystyle{b}$ とおいている．

$3$\hspace{1}{\log }_{a}R=h$ ･･････(1)

$3${a}^{h}=R$ ･･････(2)

また

$3$a={b}^{k}$ ･･････(3)

とおく．(2)に(3)を代入すると

$3${ $ {b}^{k} $ }^{h}=R$

$3${b}^{ kh }=R$ ･･････(4)

(4)の関係を $3$b$ を底とする対数で表すと

$3$kh=\hspace{1}{\log }_{b}R$ ･･････(5)

(3)の関係を $3$b$ を底とする対数で表すと

$3$\hspace{1}{\log }_{b}a=k$ ･･････(6)

(1)，(5)，(6)より，

$3$\hspace{1}{\log }_{b}a\cdot \hspace{1}{\log }_{a}R=\hspace{1}{\log }_{b}R$

よって，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}R=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}R \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{b}a \hspace{2}}}$

が得られる．

最終更新日： 2025年4月26日