微分　 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}x}$

$3$\displaystyle{{ $ \hspace{1}{ \log }_{a}x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log a \hspace{2}}}$

注：このサイトでは自然対数を $3$ lna$ ではなく， $3$ \log a$ と表記するようにしている．

■導出

$3$\displaystyle{{ $ \hspace{1}{ \log }_{a}x $ }^{\prime }}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a} $ x+{\Delta}x $ - \hspace{1}{ \log }_{a} $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}\frac{\hspace{2}R\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}=\hspace{1}{\log }_{a}R- \hspace{1}{\log }_{a}S}$ の関係を利用すると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a} $ \frac{\hspace{2} x+{\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}\hspace{1}{ \log }_{a} $ 1+\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=t}$ とおくと， $3$\displaystyle{{\Delta}x=xt}$ ．また， $3$\displaystyle{{\Delta}x\rightarrow 0}$ ならば $3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ ．よって

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} xt \hspace{2}}\hspace{1}{ \log }_{a} $ 1+t $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\hspace{1}{ \log }_{a}{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\hspace{1}{ \log }_{a} \{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} } \} }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\hspace{1}{ \log }_{a}e}$ (∵"e "の定義)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \log e \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}}$ (∵ 底の変換)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log a \hspace{2}}}$

■ $3$\displaystyle{{ $ \log x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ を利用した方法

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}x=\frac{\hspace{2} \log x \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}}$ (∵ 底を $3$\displaystyle{e}$ に変換)

よって

$3$\displaystyle{{ $ \hspace{1}{\log }_{a}x $ }^{\prime }={ $ \frac{\hspace{2} \log x \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}} $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{ \log a }$ は定数より定数倍した関数の導関数の性質を適用すると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}{ $ \log x $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log a \hspace{2}}}$

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最終更新日 2025年5月30日