自然対数の底 e の定義

自然対数の底 $3$e$ は以下に示す極限の式で定義されている．

$3$ e={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} }$ とおくと

$3$\displaystyle{e={ \lim }\limits_{ s\rightarrow \infty }{ $ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} $ }^{s}}$ ･･････(2)

と書き替えることができる．

【備考】

$3$\displaystyle{t\rightarrow +0}$ (右側極限)のとき $3$\displaystyle{ s\rightarrow \infty\text{\hspace{1}} }$ となる．よって，(1)は
$3$\displaystyle{e={ \lim }\limits_{ s\rightarrow \infty }{ $ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} $ }^{s}}$ ･･････(3)

となる．
$3$\displaystyle{t\rightarrow - 0}$ (左側極限)のとき， $3$\displaystyle{s\rightarrow - \infty}$ となる．よって，(3)は
$3$\displaystyle{e={ \lim }\limits_{ s\rightarrow - \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} }\right)}^{s}}$ ･･････(4)

となる．

(4)の右辺について， $3$\displaystyle{s=- r}$ とおくと， $3$\displaystyle{s\rightarrow - \infty}$ のとき， $3$r\rightarrow \infty$ となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ s\rightarrow - \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} }\right)}^{s}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ r\rightarrow \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - r \hspace{2}} }\right)}^{ - r }}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ r\rightarrow \infty }{\left({ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}} }\right)}^{ - r }}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ r\rightarrow \infty }{\left({ \frac{\hspace{2} r- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}} }\right)}^{ - r }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ r\rightarrow \infty }{\left({ \frac{\hspace{2}r\hspace{2}}{\hspace{2} r- 1 \hspace{2}} }\right)}^{r}}$

さらに， $3$\displaystyle{r- 1=q}$ とおくと， $3$\displaystyle{r\rightarrow \infty}$ のとき， $3$q\rightarrow \infty$ となる．よって

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }{\left({ \frac{\hspace{2} q+1 \hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right)}^{ q+1 }}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right)}^{ q+1 }}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right)}^{q}\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right)}$

極限の性質より

$3$\displaystyle{=\left{{ { \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }{ \left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right) }^{q} }\right}\left{{ { \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\left{{ { \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }{ \left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right) }^{q} }\right}\cdot 1}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right)}^{q}}$

したがって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ s\rightarrow - \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} }\right)}^{s}={ \lim }\limits_{ q\rightarrow \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} }\right)}^{q}}$ ･･････(5)

(3)，(4)，(5)より

$3$\displaystyle{e={ \lim }\limits_{ s\rightarrow \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} }\right)}^{s}={ \lim }\limits_{ s\rightarrow - \infty }{\left({ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}} }\right)}^{s}}$ ･･････(6)

となる．

$3$\mathbb{e}$ の値は，2.71828182845904･････････

$3$\mathbb{e}$ の特徴は，関係式 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{x}={e}^{x}}$ が成り立つことである．すなわち， $3$\displaystyle{e}$ を底とする指数関数は，それ自身の導関数と等しくなる．

この自然対数の底 $3$e$ のことをネイピアの数ともいう．

■参考

自然対数の底 e は数学者オイラーが対数関数 $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{a}x}$ の導関数を求める過程で発見した．

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{a}x}$ を導関数の定義に従って計算する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{a} $ x+h $ - \hspace{1}{ \log }_{a}x \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{a} $ \frac{\hspace{2} x+h \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{a} $ 1+\frac{\hspace{2}h\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}h\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=t}$ とおくと， $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ となる．よって

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} tx \hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{a} $ 1+t $ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{a}{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}{ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\hspace{1}{\log }_{a}{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{a} \{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} } \} }$

$3$t$ を0に近づけていったときの $3$\displaystyle{ { $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} } }$ の値を計算してみる．

$3$\hspace{10} \hspace{10} \hspace{10} t\hspace{10} \hspace{10} \hspace{10}$	0.1	0.01	0.001	0.0001
?@： $3$\displaystyle{ { $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} } }$	2.59374･･･	2.70481･･･	2.71692･･･	2.71814･･･
$3$t$	-0.1	-0.01	-0.001	-0.0001
?A： $3$\displaystyle{ { $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} } }$	2.86797･･･	2.73199･･･	2.71964･･･	2.71841･･･
?A－?@	0.27422･･･	0.02718･･･	0.00271･･･	0.00027･･･

$3$\displaystyle{ { $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} } }$ の値は上の表よりある値に近づいていることがわかる．その値は，2.71828182845904･････････の無理数となり e の記号をつかって表す．

$3$\displaystyle{e={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }}$ より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+x $ \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ ⇒参照

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{x}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ ⇒参照

の関係式が得られる．

■e の最大の特徴

eを底とする指数関数は，それ自身の導関数と等しくなる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{e}^{x}={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{ x+h }- {e}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {e}^{x}\left({ {e}^{h}- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{x}\left{{ { \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left({ {e}^{h}- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }\right} }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{x}\cdot 1 }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{x} }$

参考文献：対数eの不思議　著者　堀場芳数　講談社

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最終更新日： 2026年5月8日