極限 x →0　log(x+1)/x

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+x $ \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$

■導出

e の定義式 $3$\displaystyle{e={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }{ $ 1+x $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }}$ の両辺の自然対数をとると

$3$\displaystyle{ \log e=\log { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }{ \left({ 1+x }\right) }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ 1={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\log { \left({ 1+x }\right) }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ 1={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log \left({ 1+x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ 対数計算の基本を参照

よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+x $ \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$

が導かれた．

最終更新日： 2025年4月26日