指数関数の微分

１．対数微分法を用いる

指数関数を微分する場合，底を自然対数の底 $3$e$ に変換してから，微分するとよい．

底が $3$a$ である $3$\displaystyle{{a}^{x}}$ を，底を $3$e$ に変換して微分する．（ただし， $3$a$ は0より大きい定数）

$3$\displaystyle{ { ${a}^{x}$ }^{\prime } ={ ${e}^{ \log {a}^{x} }$ }^{\prime } }$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 指数関数の底の変換　 $3$\displaystyle{{a}^{x}={e}^{ \log {a}^{x} }}$ ）

$3$\displaystyle{ ={ ${e}^{ x\log a }$ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ = $ \log a $ \cdot {e}^{ x\log a } }$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 合成関数の微分 $3$\displaystyle{y={e}^{u}}$ ， $3$\displaystyle{u=x\log a}$ ）

$3$\displaystyle{ ={a}^{x}\log a }$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{{e}^{ \log {a}^{x} }={a}^{x}}$ ）　

$3$\displaystyle{{a}^{x}}$ の微分に関してはここも参照のこと

底が変数 $3$x$ である $3$\displaystyle{{x}^{x}}$ を，底を $3$e$ に変換して微分する．

$3$\displaystyle{{ $ {x}^{x} $ }^{\prime }={ $ {e}^{ \log {x}^{x} } $ }^{\prime }}$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 指数関数の底の変換）

$3$\displaystyle{={ $ {e}^{ x\log x } $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{={e}^{ x\log x }\cdot { $ x\log x $ }^{\prime }}$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 合成関数の微分 $3$\displaystyle{ y={e}^{u} }$ ， $3$\displaystyle{ u=x\log x }$ ）

$3$\displaystyle{={e}^{ x\log x }\cdot $ \log x+x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{= $ \log x+1 $ {x}^{x}}$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{{e}^{ \log {x}^{x} }={x}^{x}}$ ）

最終更新日： 2024年5月17日