指数関数の底の変換の仕方

$3$\displaystyle{x={a}^{ \hspace{1}{ \log }_{a}x }}$

が導かれる．この関係式の $3$x$ の替わりに， $3$\displaystyle{{b}^{x}}$ （ただし， $3$\displaystyle{b> 0}$ ）を用いると

$3$\displaystyle{{b}^{x}={a}^{ \hspace{1}{ \log }_{a}{b}^{x} }={a}^{ x\hspace{1}{ \log }_{a}b }}$

となり，指数関数の底が $3$b$ から $3$a$ に変換される． $3$\displaystyle{\log {b}^{x}=x\log b}$ の変換は，ここを参照のこと．

指数関数の底の変換の利用例としては，指数関数の微分がある．

■別の説明

指数関数 $3$\displaystyle{{b}^{x}}$ の底を $3$b$ から $3$a$ に変換する．

$3$\displaystyle{{b}^{x}={a}^{y}}$ 　･･････(1)

と置き，この方程式を $3$y$ について解く

(1)の両辺の底が $3$a$ の対数を取る

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}{b}^{x}=\hspace{1}{\log }_{a}{a}^{y}}$

$3$\displaystyle{x\hspace{1}{\log }_{a}b=y\hspace{1}{\log }_{a}a}$ 　（∵ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R}$ ）

$3$\displaystyle{x\hspace{1}{\log }_{a}b=y}$ 　（∵ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}a=1}$ ）　･･････(2)

となる．

(2)を(1)代入する.

$3$\displaystyle{{b}^{x}={a}^{ x\hspace{1}{ \log }_{a}b }}$

となり，指数関数 $3$\displaystyle{{b}^{x}}$ の底が $3$b$ から $3$a$ に変換された．

最終更新日： 2024年6月20日