対数微分法

微分する関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ が整式の累乗の和および積の形の場合，対数を取って微分すると累乗が倍数，積が和，商が差になり計算が簡単になる．このような微分方法を対数微分法という．

対数微分法の手順を $3$\displaystyle{y=f $x$ }$ を使って詳しく説明する．

$3$\displaystyle{y=f $x$ }$ の両辺の絶対値の自然対数をとる．（ただし，真数が正でなければならないので， $3$\displaystyle{y=f $x$ \neq 0}$ とする．）

$3$\displaystyle{\log \|y\| =\log \| f $x$ \| }$

次に，両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\log \|y\| =\log \| f $x$ \| }$

合成関数の導関数の考え方により式を変形する．

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\log \mid y\mid $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}= }$ $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} df \(x$ \hspace{2}}\log \mid f $x$ \mid \) \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}f $x$ }$

$3$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}{f}^{\prime } $x$ }}$ （ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{\log \mid y\mid } }$ の計算はここを参照）

$3$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}{f}^{\prime } $x$ }}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={f}^{\prime } $x$ }}$

となり，両辺の対数をとっても，導関数 $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$ が求まることがわかる．　

■具体的事例

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} { $ x+3 $ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2x+1 } \hspace{2}}}$ の導関数を求める．

分母が0でないことより， $3$\displaystyle{\sqrt{ 2x+1 }\neq 0}$ ，根号(ルート) の中はゼロ以上より， $3$\displaystyle{2x+1\geq 0}$

よって， $3$\displaystyle{2x+1> 0\rightarrow x> - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

この $3$x$ の範囲では， $3$\displaystyle{ x+3> \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ となり， $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} { \left({ x+3 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2x+1 } \hspace{2}}> 0}$ である．よって，両辺の絶対値の自然対数をとる必要はなく，そのまま両辺の自然対数をとると

$3$\displaystyle{ \log y=\log \frac{\hspace{2} { \left({ x+3 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2x+1 } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \log y=2\log \left({ x+3 }\right)- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left({ 2x+1 }\right) }$

この方程式の両辺を $3$x$ で微分（対数の微分）して計算すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} x+3 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\cdot }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2x+1 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2\left({ 2x+1 }\right)- \left({ x+3 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x+3 }\right)\left({ 2x+1 }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 3x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x+3 }\right)\left({ 2x+1 }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} { \left({ x+3 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2x+1 } \hspace{2}}\text{\cdot }\frac{\hspace{2} 3x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ x+3 }\right)\left({ 2x+1 }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \left({ x+3 }\right)\left({ 3x- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ { \left({ 2x+1 }\right) }^{3} } \hspace{2}} }$

分数関数の微分の公式を使うより計算は簡単である．

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最終更新日： 2025年8月19日