log|y|のxについて微分

$3$\displaystyle{ y=f$x$ }$ であるとき， $3$\displaystyle{ \log y }$ を $3$\displaystyle{ x }$ について微分すると

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{\log \mid y\mid }}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

注：このサイトでは自然対数を $3$ lna$ ではなく， $3$ \log a$ と表記するようにしている．

となる． $3$\displaystyle{ y }$ が具体的な関数として表わされていないので $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ を用いている．

■導出

$3$\displaystyle{\displaystyle{z=\displaystyle{\log \mid y\mid }}}$

とおき

$3$\displaystyle{\displaystyle{z=\displaystyle{\log \mid y\mid }}}$

$3$\displaystyle{ y=f$x$ }$

の合成関数と考える．合成関数の導関数より

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

(∵ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\log \left|{y}\right|=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$ 　ここを参照)

となる．したがって，

となる．

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最終更新日： 2025年4月8日