分数関数の微分 II （関数の商の導関数）

$3$\displaystyle{{ \{ \frac{\hspace{2} h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \} }^{\prime }=\frac{\hspace{2} {h}^{\prime } $x$ g $x$ - h $x$ {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}}}$

すなわち

$3$\displaystyle{ f $x$ =\frac{\hspace{2} h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \rightarrow {f}^{\prime } $x$ =\frac{\hspace{2} {h}^{\prime } $x$ g $x$ - h $x$ {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}} }$

■導出

導関数の定義式より

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+ {\Delta}x $ - f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} h $ x+ {\Delta}x $ \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ {\Delta}x $ \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}\frac{\hspace{2} h $ x+ {\Delta}x $ g $x$ - h $x$ g $ x+ {\Delta}x $ \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ {\Delta}x $ g $x$ \hspace{2}}\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{\displaystyle{={\lim}\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 } \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ h $ g $x$ \hspace{2}}\cdot }}$ $3$\displaystyle{\displaystyle{ \frac{\hspace{2} h $ x+ {\Delta}x $ g $x$ - h $x$ g $ x+ {\Delta}x $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} \} }}$

$3$\displaystyle{ = \{ {\lim}\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ {\Delta}x $ g $x$ \hspace{2}} \} }$ $3$\displaystyle{\times \left{{ { \lim }\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} h\left({ x+ {\Delta}x }\right)g\left({x}\right)\{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}- h\left({x}\right)g\left({ x+ {\Delta}x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }\right}}$

$3$\displaystyle{ = \{ {\lim}\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ {\Delta}x $ g $x$ \hspace{2}} \} }$ $3$\displaystyle{\times \left[{ { \lim }\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left{{ h\left({ x+ {\Delta}x }\right)- h\left({x}\right) }\right}g\left({x}\right)+h\left({x}\right)\left{{ g\left({x}\right)- g\left({ x+ {\Delta}x }\right) }\right} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }\right]}$

$3$\displaystyle{ = \{ {\lim}\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ {\Delta}x $ g $x$ \hspace{2}} \} }$ $3$\displaystyle{\times \left[{ \left{{ { \lim }\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} h\left({ x+ {\Delta}x }\right)- h\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }\right}g\left({x}\right)- h\left({x}\right)\left{{ { \lim }\limits_{ {\Delta}x \rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g\left({ x+ {\Delta}x }\right)- g\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }\right} }\right]}$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} {h}^{\prime } $x$ g $x$ - h $x$ {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}} }$

ここを参照

よって

である．

分数関数の微分I $3$\displaystyle{{ \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \} }^{\prime }=- \frac{\hspace{2} {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}}}$ を参照

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最終更新日： 2025年4月25日