分数関数の微分 I

$3$\displaystyle{{ \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \} }^{\prime }=- \frac{\hspace{2} {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}}}$

すなわち

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}}\rightarrow {f}^{\prime } $x$ =- \frac{\hspace{2} {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}}}$

■導出

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ x+h $ - f $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+h $ \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} g $x$ - g $ x+h $ \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+h $ g $x$ \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\left{{\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ h $ g $x$ \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \cdot \frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} }\right\} }$

$3$\displaystyle{ = \{ {\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} g $ x+ h $ g $x$ \hspace{2}} \} }$ $3$\displaystyle{ \{ {\lim}\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ x+ h $ - g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}} }$ ここを参照

よって

$3$\displaystyle{{ \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \} }^{\prime }=- \frac{\hspace{2} {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ g $x$ \} }^{2} \hspace{2}}}$

である．

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最終更新日 2023年6月7日