定数倍した関数の導関数

$3$\displaystyle{{ \{ cg $x$ \} }^{\prime }=c{g}^{\prime } $x$ }$

すなわち

$3$f $x$ =cg $x$ \rightarrow {f}^{\prime } $x$ =c{g}^{\prime } $x$$

■導出

関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ は，関数 $3$\displaystyle{ g $x$ }$ を $3$c$ 倍した関数 $3$\displaystyle{ cg $x$ }$ である．その導関数は，定義式より

$3$\displaystyle{{ \{ cg $x$ \} }^{\prime }={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} cg $ x+{\Delta}x $ +cg $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}}$

式を整理しなおすと

$3$\displaystyle{ \displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} c \{ g $ x+ {\Delta}x $ + g $x$ \} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =c{\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} g $ x+ {\Delta}x $ + g $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}=c{g}^{\prime } $x$ }$

となる．すなわち

$3$\displaystyle{{ \{ cg $x$ \} }^{\prime }=c{g}^{\prime } $x$ }$

である．

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最終更新日： 2023年6月8日