分母の有理化

分数の分母に有理数でない数が含まれる場合に，分数の値を変えずに分母を有理数理に変換する操作のことを分母の有理化という．

有理数化の操作の例を以下に示す．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2}\sqrt{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(1)
分母・分子に $3$ \sqrt{2}$ を掛けることにより，分母を有理化している．
$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2}- 1 \hspace{2}}}$   ･･････(2)
$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt{2}- 1 }\right)\left({ \sqrt{2}+1 }\right) \hspace{2}}}$   ･･････(3)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sqrt{2} }\right) }^{2}- {1}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2- 1 \hspace{2}}}$   ･･････(4)

$3$\displaystyle{=\sqrt{2}+1}$

分母・分子に $3$\displaystyle{ \sqrt{2}+1 }$ を掛けることにより，分母を有理化している．

【参考】

分母の有理化でよく用いられる式は

$3$\displaystyle{ $ x+y $ $ x- y $ }$ $3$\displaystyle{ ={x}^{2}- {y}^{2} }$ ･･････(5)

である． $3$x$ ， $3$y$ がある有理数の平方根で無理数であっても，(5)の右辺の $3${x}^{2}- {y}^{2}$ は必ず有理数になる．

(2)の分母の $3$\sqrt{2}- 1$ は，(5)の左辺の $3$x- y$ に相当する．よって，(5)の左辺の $3$x+y$ は $3$\sqrt{2}+1$ になり，(2)の分母・分子に(3)のように $3$\sqrt{2}+1$ を掛けて分母を有理化する．(5)の右辺の $3${x}^{2}- {y}^{2}$ に相当する $3${\left({ \sqrt{2} }\right)}^{2}- {1}^{2}$ の計算の結果，(4)では分母が有理化されている．

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最終更新日： 2025年12月21日