平方根（ルート）の計算則

$3$a$ ， $3$b$ ， $3$k$ が正の数のとき

$3$\displaystyle{\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ ab }}$ ⇒ 導出
$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{b} \hspace{2}}=\sqrt{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }}$ ⇒ 導出
$3$\displaystyle{\sqrt{ {k}^{2}a }=k\sqrt{a}}$ ⇒ 導出

■導出

● $3$\displaystyle{\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ ab }}$

$3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{a}\sqrt{b} }\right)}^{2}={\left({ \sqrt{a} }\right)}^{2}{\left({ \sqrt{b} }\right)}^{2}}$ $3$\displaystyle{=ab}$

（∵ $3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{a} }\right)}^{2}=a}$ ． $3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{b} }\right)}^{2}=b}$ ）

$3$\sqrt{a}\sqrt{b}> 0$ ， $3$\displaystyle{ \sqrt{a}\sqrt{b} }$ を2乗すると $3$\displaystyle{ab}$ になっている．よって，平方根の定義より

$3$\displaystyle{\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ ab }}$

となる．

● $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{b} \hspace{2}}=\sqrt{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{b} \hspace{2}} }\right)}^{2}=\frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{a} }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sqrt{b} }\right) }^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$

（∵ $3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{a} }\right)}^{2}=a}$ ． $3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{b} }\right)}^{2}=b}$ ）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{b} \hspace{2}}> 0}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{b} \hspace{2}}}$ を2乗すると $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }$ になっている．よって，平方根の定義より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{b} \hspace{2}}=\sqrt{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }}$

となる．

● $3$\displaystyle{\sqrt{ {k}^{2}a }=k\sqrt{a}}$

$3$\sqrt{ {k}^{2}a }=\sqrt{ {k}^{2} }\sqrt{a}$ （∵計算則1の $3$\displaystyle{\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ ab }}$ ）

$3$\displaystyle{=k\sqrt{a}}$ （∵平方根の性質 $3$\displaystyle{\sqrt{ {k}^{2} }=k}$ （ $3$k> 0$ ））

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最終更新日： 2025年12月22日