相加平均と相乗平均の関係

$3$ x> 0,y> 0,z> 0$ において，

相加平均とは： $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2} x+y+z \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

相乗平均とは： $3$\displaystyle{\sqrt{ xy },\sqrt[3]{ xyz }}$

相加平均と相乗平均の間には

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\geq \sqrt{ xy }}$ （等号が成り立つのは， $3$ x=y$ の時である．）　･･････(1)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x+y+z \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\geq \sqrt[3]{ xyz }}$ （等号が成り立つのは， $3$ x=y=z$ の時である．）　･･････(2)

の不等式の関係がある．

■証明

●(1)の証明

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}- {\left({ \sqrt{ xy } }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}xy+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{y}^{2}- xy}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}xy+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{y}^{2}}$

$3$\displaystyle{={\left({ \frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}\geq 0}$

したがって

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}^{2}\geq {\left({ \sqrt{ xy } }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\geq \sqrt{ xy }}$

【別証明】

(1)の式を以下のように書き直す.

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x+y \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\geq \sqrt{ xy }}$

$3$\displaystyle{x+y\geq 2\sqrt{ xy }}$

$3$\displaystyle{x+y\geq 2\sqrt{x}\sqrt{y}}$ 　･･････(3)

$3$\displaystyle{X=\sqrt{x}}$ ， $3$\displaystyle{Y=\sqrt{y}}$ と置いて(3)を書き換える.

$3$\displaystyle{{X}^{2}+{Y}^{2}\geq 2XY}$

$3$\displaystyle{{X}^{2}+{Y}^{2}- 2XY\geq 0}$ 　･･････(4)

(4)を証明する．

$3$\displaystyle{{X}^{2}+{Y}^{2}- 2XY}$ $3$\displaystyle{={\left({ X- Y }\right)}^{2}\geq 0}$

したがって，(4)が成り立ち，(1)も成り立つことになる．

●(2)の証明

(2)の式を以下のように書き直す.

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x+y+z \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\geq \sqrt[3]{ xyz }}$

$3$\displaystyle{x+y+z\geq 3\sqrt[3]{ xyz }}$

$3$\displaystyle{x+y+z\geq 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}\sqrt[3]{z}}$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{X=\sqrt[3]{x}}$ ， $3$\displaystyle{Y=\sqrt[3]{y}}$ ， $3$\displaystyle{Z=\sqrt[3]{z}}$ と置いて(5)を書き換える.

$3$\displaystyle{{X}^{3}+{Y}^{3}+{Z}^{3}\geq 3XYZ}$

$3$\displaystyle{{X}^{3}+{Y}^{3}+{Z}^{3}- 3XYZ\geq 0}$ 　･･････(6)

(6)を証明する．

$3$\displaystyle{{X}^{3}+{Y}^{3}+{Z}^{3}- 3XYZ}$

因数分解する．因数分解の計算は備考を参照

$3$\displaystyle{=\left({ X+Y+Z }\right)\left({ {X}^{2}+{Y}^{2}+{Z}^{2}- XY- YZ- ZX }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ X+Y+Z }\right)\left({ 2{X}^{2}+2{Y}^{2}+2{Z}^{2}- 2XY- 2YZ- 2ZX }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ X+Y+Z }\right)\left{{ { \left({ X- Y }\right) }^{2}+{ \left({ Y- Z }\right) }^{2}+{ \left({ Z- X }\right) }^{2} }\right}\geq 0}$

したがって，(6)が成り立ち，(2)も成り立つことになる．

●備考

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} & {X}^{2}+{Y}^{2}+{Z}^{2}- XY- YZ- ZX & \vspace{6}\\ X+Y+Z & \bar{ \){X}^{3}+{Y}^{3}+{Z}^{3}- 3XYZ } & \vspace{6}\\ & \underline{ {X}^{3}+{X}^{2}Y+{X}^{2}Z\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} } & \vspace{6}\\ & {Y}^{3}+{Z}^{3}- {X}^{2}Y- {X}^{2}Z- 3XYZ & \vspace{6}\\ & \underline{ X{Y}^{2}+{Y}^{3}+{Y}^{2}Z\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} } & \vspace{6}\\ & {Z}^{3}- {X}^{2}Y- {X}^{2}Z- X{Y}^{2}- {Y}^{2}Z- 3XYZ & \vspace{6}\\ & \underline{ X{Z}^{2}+Y{Z}^{2}+{Z}^{3}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} } & \vspace{6}\\ & - {X}^{2}Y- {X}^{2}Z- X{Y}^{2}- {Y}^{2}Z- X{Z}^{2}- Y{Z}^{2}- 3XYZ & \vspace{6}\\ & \underline{ - {X}^{2}Y- X{Y}^{2}- XYZ\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} } & \vspace{6}\\ & - {X}^{2}Z- {Y}^{2}Z- X{Z}^{2}- Y{Z}^{2}- 2XYZ & \vspace{6}\\ & \underline{ - XYZ- {Y}^{2}Z- Y{Z}^{2}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} } & \vspace{6}\\ & - {X}^{2}Z- X{Z}^{2}- XYZ & \vspace{6}\\ & \underline{ - {X}^{2}Z- XYZ- X{Z}^{2} } & \vspace{6}\\ & \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}0 & \vspace{6}\\ \end{array}}$

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最終更新日： 2024年6月10日