シュワルツの不等式

■ $3$ $ {a}^{2}+{b}^{2} $ $ {x}^{2}+{y}^{2} $ \geq { $ ax+by $ }^{2}$

等号がなりたつのは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$

のとき．

●証明

$3$\displaystyle{ $ {a}^{2}+ {b}^{2} $ $ {x}^{2}+ {y}^{2} $ - { $ ax+ by $ }^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={a}^{2}{x}^{2}+ {a}^{2}{y}^{2} }$ $3$\displaystyle{ + {b}^{2}{x}^{2}+ {b}^{2}{y}^{2} }$ $3$\displaystyle{ - {a}^{2}{x}^{2}- 2abxy- {b}^{2}{y}^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={a}^{2}{y}^{2}- 2abxy+ {b}^{2}{x}^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={ $ ay- bx $ }^{2}\geq 0 }$

∴　 $3$\displaystyle{ $ {a}^{2}+{b}^{2} $ $ {x}^{2}+{y}^{2} $ \geq { $ ax+by $ }^{2}}$

因数分解，平方完成で不等式を証明している．不等式の証明ページを参照．

等号が成り立つのは

$3$\displaystyle{ay- bx=0\rightarrow ay=bx}$

の場合である．

$3$\displaystyle{a\neq 0,b\neq 0}$ であれば

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}}$

の場合である．

■ $3$\displaystyle{ $ {a}^{2}+ {b}^{2}+ {c}^{2} $ $ {x}^{2}+ {y}^{2}+ {z}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{ \geq { $ ax+ by+ cz $ }^{2} }$

等号がなりたつのは

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}}}$

のとき．

●証明

$3$\displaystyle{ $ {a}^{2}+ {b}^{2}+ {c}^{2} $ $ {x}^{2}+ {y}^{2}+ {z}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{ - { $ ax+ by+ cz $ }^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={a}^{2}{x}^{2}+ {a}^{2}{y}^{2}+ {a}^{2}{z}^{2} }$ $3$\displaystyle{ + {b}^{2}{x}^{2}+ {b}^{2}{y}^{2}+ {b}^{2}{z}^{2} }$ $3$\displaystyle{ + {c}^{2}{x}^{2}+ {c}^{2}{y}^{2}+ {c}^{2}{z}^{2} }$ $3$\displaystyle{ - {a}^{2}{x}^{2}- {b}^{2}{y}^{2}- {c}^{2}{z}^{2} }$ $3$\displaystyle{ - 2abxy- 2bcyx- 2cazx }$

$3$\displaystyle{ ={a}^{2}{y}^{2}+ {a}^{2}{z}^{2} }$ $3$\displaystyle{ + {b}^{2}{x}^{2}+ {b}^{2}{z}^{2} }$ $3$\displaystyle{ + {c}^{2}{x}^{2}+ {c}^{2}{y}^{2} }$ $3$\displaystyle{ - 2abxy- 2bcyx- 2cazx }$

$3$\displaystyle{ = $ {a}^{2}{y}^{2}- 2abxy+ {b}^{2}{x}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{ + $ {b}^{2}{z}^{2}- 2bcyx+ {c}^{2}{y}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{ + $ {c}^{2}{x}^{2}- 2cazx+ {a}^{2}{z}^{2} $ }$

$3$\displaystyle{ ={ $ ay- bx $ }^{2}+ { $ bz- cy $ }^{2}+ { $ cx- az $ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ \geq 0 }$

∴ $3$\displaystyle{ $ {a}^{2}+ {b}^{2}+ {c}^{2} $ $ {x}^{2}+ {y}^{2}+ {z}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{ \geq { $ ax+ by+ cz $ }^{2} }$

平方完成で不等式を証明している．不等式の証明ページを参照．

等号が成り立つのは

$3$\displaystyle{ ay- bx=0, }$ $3$\displaystyle{ bz- cy=0, }$ $3$\displaystyle{ cx- az=0\rightarrow ay=bx, }$ $3$\displaystyle{ bz=cy, }$ $3$\displaystyle{ cx=az }$

の場合である．

$3$\displaystyle{a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0}$ であれば

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}z\hspace{2}}{\hspace{2}c\hspace{2}}}$

の場合である．

文字数をｎ個に拡張した場合．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ $ { \sum }\limits_{ k=1 }^{ n } { \hspace{1}{ a }_{ k } }^{ 2 } $ $ { \sum }\limits_{ k=1 }^{ n } { \hspace{1}{ x }_{ k } }^{ 2 } $ \geq { $ { \sum }\limits_{ k=1 }^{ n } \hspace{1}{ a }_{ k }\hspace{1}{ x }_{ k } $ }^{ 2 } } }$
定積分に拡大した場合．

$3$\displaystyle{a\leq b}$ ならば

$3$\displaystyle{ \int _{a}^{b} $ f{ \(x$ }^{2}dx \) \int _{a}^{b} $ g{ \(x$ }^{2}dx \) }$ $3$\displaystyle{ \geq { $ \int _{a}^{b} \( f \(x$ g $x$ dx \) \) }^{2} }$

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最終更新日： 2025年4月26日

シュワルツの不等式

■ $3$ \( {a}^{2}+{b}^{2} \) \( {x}^{2}+{y}^{2} \) \geq { \( ax+by \) }^{2}$

●証明

■ $3$\displaystyle{ \( {a}^{2}+ {b}^{2}+ {c}^{2} \) \( {x}^{2}+ {y}^{2}+ {z}^{2} \) }$ $3$\displaystyle{ \geq { \( ax+ by+ cz \) }^{2} }$

●証明