フーリエ変換の応用例

熱伝導現象を，フーリエ変換を使って解析する． $3$\displaystyle{x}$ 軸方向に伸びた無限長の針金を考える．針金の時刻 $3$\displaystyle{t}$ ，位置 $3$\displaystyle{x}$ における温度を $3$\displaystyle{ u $ x,t $ }$ とする．針金の断面積を $3$\displaystyle{S}$ として，位置 $3$\displaystyle{x}$ から位置 $3$\displaystyle{ x+{\Delta}x }$ の間の微小要素を考える．また，時刻 $3$\displaystyle{t}$ ，位置 $3$\displaystyle{x}$ における針金の断面を通過する単位時間当たりの熱量を $3$\displaystyle{ Q $ x,t $ }$ と表すことにし， $3$\displaystyle{x}$ の正方向を $3$\displaystyle{ Q $ x,t $ }$ の正方向とする．

物体の熱伝導においては

$3$\displaystyle{ Q $ x,t $ =- \alpha \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}u $ x,t $ }$ 　･･････(1)

となる関係がある． $3$\displaystyle{\alpha }$ は比例定数で熱伝導率という．

微小要素に流れこむ単位時間当たりの熱量は

$3$\displaystyle{ Q $ x,t $ =- \alpha \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}u $ x,t $ }$ 　･･････(2)

微小要素に流れでる単位時間当たりの熱量は，1次近似式を用いると

$3$\displaystyle{ Q $ x+{\Delta}x,t $ }$ $3$\displaystyle{ =- \alpha \{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}u $ x,t $ + $ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u \( x,t $ \) {\Delta}x \} }$ 　･･････(3)

と表される．よって，時間 $3$\displaystyle{ {\Delta}t }$ の間に微小要素に蓄積される熱量 $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{Q}_{1} }$ は

$3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{Q}_{1}=Q $ x,t $ {\Delta}t- Q $ x+{\Delta}x,t $ {\Delta}t }$

$3$\displaystyle{ =- \alpha \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}u $ x,t $ {\Delta}t }$ $3$\displaystyle{ - \[ - \alpha \{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}u $ x,t $ + $ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u \( x,t $ \) {\Delta}x \} {\Delta}t \] }$

$3$\displaystyle{ =\alpha $ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u \( x,t $ \) {\Delta}x{\Delta}t }$ 　･･････(4)

となる．

一方，微小要素に蓄積される熱によって時間 $3$\displaystyle{ {\Delta}t }$ の間に温度が $3$\displaystyle{ {\Delta}u }$ 上昇したとする．

針金の断面積を $3$\displaystyle{S}$ ，比熱を $3$\displaystyle{{\rho}}$ ，密度を $3$\displaystyle{{\sigma}}$ とすると， $3$\displaystyle{ {\Delta}u }$ の温度上昇に必要な熱量 $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{Q}_{2} }$ は

$3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{Q}_{2} = {\rho}{\sigma}S{\Delta}x{\Delta}u }$ 　･･････(5)

となる．

微小要素内部からの発熱がないとすると $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{Q}_{1}={\Delta}\hspace{1}{Q}_{2} }$ となる．よって

$3$\displaystyle{ \alpha $ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u \( x,t $ \) {\Delta}x{\Delta}t={\rho}{\sigma}S{\Delta}x{\Delta}u }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\Delta}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}t \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2} {\rho}{\sigma}S \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u \( x,t $ \) }$

となる． $3$\displaystyle{ {\Delta}t\rightarrow 0 }$ とすると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}t \hspace{2}}u $ x,t $ =\frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2} {\rho}{\sigma}S \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u \( x,t $ \) }$

となる． $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}{\hspace{2} {\rho}{\sigma}S \hspace{2}}={c}^{2} }$ ， $3$\displaystyle{ c> 0 }$ とおくと

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}t \hspace{2}}={c}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}} }$ 　･･････(6)

となり，変数 $3$\displaystyle{t}$ ， $3$\displaystyle{x}$ の間に成り立つ偏微分方程式が得られる．

この針金に， $3$\displaystyle{ t=0 }$ の時刻に $3$\displaystyle{ x=0 }$ の位置にレーザー光で局部的に加熱する．そのときの温度分布 $3$\displaystyle{ u $ x,0 $ }$ を

$3$\displaystyle{ u\left({ x,0 }\right)=\left{{ \begin{array} \frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}{\varepsilon}\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2}{\varepsilon}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< x< \frac{\hspace{2}{\varepsilon}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ 0& \left|{ \frac{\hspace{2}{\varepsilon}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right|> x & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ， $3$\displaystyle{ {\varepsilon}\rightarrow 0 }$ 　･･････(7)

であると近似する．

対称性を考えると $3$\displaystyle{ u $ x,t $ }$ は $3$\displaystyle{x}$ に関しては偶関数になる．よって， $3$\displaystyle{ u $ x,t $ }$ を変数 $3$\displaystyle{x}$ に関してフーリエ余弦変換を行うと

$3$\displaystyle{ u $ x,t $ }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},t $ \cos {\omega}xd{\omega} } }$ 　･･････(8)

となる．

(8)の両辺を $3$\displaystyle{t}$ で微分すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}t \hspace{2}}u $ x,t $ }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}t \hspace{2}}\hspace{1}{U}_{c} \( {\omega},t $ \) \cos {\omega}xd{\omega} } }$ 　･･････(9)

となる．(9)の両辺を $3$\displaystyle{x}$ で2回偏微分すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u $ x,t $ }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},t $ $ - {{\omega}}^{2}\cos {\omega}x $ d{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}u $ x,t $ }$ $3$\displaystyle{ =- {{\omega}}^{2}\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},t $ $ \cos {\omega}x $ d{\omega} } }$ 　･･････(10)

となる．(9)，(10)を偏微分方程式(6)に代入すると，

$3$\displaystyle{ \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}\left({ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}t \hspace{2}}\hspace{1}{U}_{c}\left({ {\omega},t }\right) }\right)\cos {\omega}xd{\omega} }$ $3$\displaystyle{ ={c}^{2}\left{{ \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{\int }_{0}^{\infty}\left{{ - {{\omega}}^{2}\hspace{1}{U}_{c}\left({ {\omega},t }\right) }\right}\left({ \cos {\omega}x }\right)d{\omega} }\right} }$ 　･･････(11)

となる．したがって，両辺を比較することにより

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}t \hspace{2}}\hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},t $ =- {c}^{2}{{\omega}}^{2}\hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},t $ }$ 　･･････(12)

が得られる．(12)の一般解は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},t $ =A{e}^{ - {c}^{2}{{\omega}}^{2}t } }$ 　･･････(13)

（ $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

となる． (7)で表される $3$\displaystyle{ u\left({ x,0 }\right) }$ は偶関数なので，フーリエ余弦変換すると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},0 $ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} u $ x,0 $ \cos {\omega}xdx } }$ 　･･････(14)

となる．この問題の結果を用いると

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}} }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},0 $ =A=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}} }$ 　･･････(15)

となる．(15)を(13)に代入すると，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{U}_{c} $ {\omega},t $ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}{e}^{ - {c}^{2}{{\omega}}^{2}t } }$ 　･･････(16)

となる $3$\displaystyle{ u $ x,t $ }$ のフーリエ余弦変換が得られる．

次に，(16)を(8)に代入して $3$\displaystyle{ u\left({ x,t }\right) }$ を求める．

$3$\displaystyle{ u $ x,t $ }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2{\pi} } \hspace{2}}{e}^{ - {c}^{2}{{\omega}}^{2}t }\cos {\omega}xd{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ u $ x,t $ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - {c}^{2}{{\omega}}^{2}t }\cos {\omega}xd{\omega} } }$

ここで，ラプラス積分

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{0}^{\infty} {e}^{ - {a}^{2}{x}^{2} }\cos bxdx }=\frac{\hspace{2} \sqrt{{\pi}} \hspace{2}}{\hspace{2} 2a \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4{a}^{2} \hspace{2}} } }$ 　 $3$\displaystyle{ $ a> 0 $ }$

を用いると

$3$\displaystyle{ u $ x,t $ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{{\pi}} \hspace{2}}{\hspace{2} 2c\sqrt{t} \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4{c}^{2}t \hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{u}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2} 2c\sqrt{ {\pi}t } \hspace{2}}{e}^{ - \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 4{c}^{2}t \hspace{2}} } }$

となり， $3$\displaystyle{ u $ x,t $ }$ が求まった．

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>複素フーリエ級数

最終更新日： 2024年10月7日