フーリ変換(フーリエ余弦変換，フーリエ正弦変換)

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が偶関数のとき

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \hspace{1}{F}_{c}\left({{\omega}}\right)\cos {\omega}xd{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{c}\left({{\omega}}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f\left({x}\right)\cos {\omega}xdx } }$

となる． $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{c}\left({{\omega}}\right) }$ を $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ のフーリエ余弦変換という．

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が奇関数のとき

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \hspace{1}{F}_{s}\left({{\omega}}\right)\sin {\omega}xd{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s}\left({{\omega}}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f\left({x}\right)\sin {\omega}xdx } }$

となる． $3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s}\left({{\omega}}\right) }$ を $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ のフーリエ正弦変換という．

■導出

フーリエ積分

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \left{{ G\left({{\omega}}\right)\cos {\omega}x+H\left({{\omega}}\right)\sin {\omega}x }\right}d{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\cos {\omega}vdv }=G\left({{\omega}}\right) }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\sin {\omega}vdv }=H\left({{\omega}}\right) }$

において， $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が偶関数のとき， $3$\displaystyle{v}$ の関数 $3$\displaystyle{ f\left({v}\right)\cos {\omega}v }$ は偶関数になるので

$3$\displaystyle{ G\left({{\omega}}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\cos {\omega}vdv } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f\left({v}\right)\cos {\omega}vdv } }$

$3$\displaystyle{v}$ の関数 $3$\displaystyle{ f\left({v}\right)\sin {\omega}v }$ は奇関数になるので

$3$\displaystyle{ H\left({{\omega}}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\sin {\omega}vdv }=0 }$

となり

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} G\left({{\omega}}\right)\cos {\omega}xd{\omega} } }$ 　･･････(1)

となる．

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が奇関数のとき， $3$\displaystyle{v}$ の関数 $3$\displaystyle{ f\left({v}\right)\cos {\omega}v }$ は奇関数になるので

$3$\displaystyle{ G\left({{\omega}}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\cos {\omega}vdv }=0 }$

$3$\displaystyle{v}$ の関数 $3$\displaystyle{ f\left({v}\right)\sin {\omega}v }$ は偶関数になるので

$3$\displaystyle{ H\left({{\omega}}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\sin {\omega}vdv } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f\left({v}\right)\sin {\omega}vdv } }$

となり

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} H\left({{\omega}}\right)\sin {\omega}xd{\omega} } }$ 　･･････(2)

となる．(1)，(2)の積分変数 $3$\displaystyle{v}$ を $3$\displaystyle{x}$ に書き直し，さらに

$3$\displaystyle{ G\left({{\omega}}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\hspace{1}{F}_{c}\left({{\omega}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ H\left({{\omega}}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\hspace{1}{F}_{s}\left({{\omega}}\right) }$

と置き直すと

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が偶関数のとき

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{c}\left({{\omega}}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f\left({x}\right)\cos {\omega}xdx } }$

となり， $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ が奇関数のとき

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{F}_{s}\left({{\omega}}\right)=\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f\left({x}\right)\sin {\omega}xdx } }$

となる．

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最終更新日： 2023年7月3日