フーリエ積分

フーリエ級数の周期を無限大にすることにより得られる以下の式

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \left{{ G\left({{\omega}}\right)\cos {\omega}x+H\left({{\omega}}\right)\sin {\omega}x }\right}d{\omega} } }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\cos {\omega}vdv }=G\left({{\omega}}\right) }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\sin {\omega}vdv }=H\left({{\omega}}\right) }$

をフーリエ積分による $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ 表示という．

■導出

後の積分の計算で混乱を避けるために式フーリエ係数の積分変数を $3$\displaystyle{x}$ から $3$\displaystyle{v}$ に変更する．定積分の積分変数が変わっても定積分の値は変わらない．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{0}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({x}\right)dx }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)dv } }$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({x}\right)\cos \frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}xdx } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{b}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({x}\right)\sin \frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}xdx } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }$ 　･･････(3)

( $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}=\hspace{1}{{\omega}}_{n} }$ とおいている)

$3$\displaystyle{ n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot }$ なので， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{1}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{2}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{3}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} }$ ，･･･のようになり， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{n} }$ は初項 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{1}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} }$ ，公差 $3$\displaystyle{ {\Delta}{\omega}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} }$ の等差数列の第 $3$\displaystyle{n}$ 項と考えることができる．

周期 $3$\displaystyle{ 2\ell }$ の周期関数を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{\ell }\left({x}\right) }$ で表すことにする． $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{\ell }\left({x}\right) }$ のフーリエ級数は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{\ell }\left({x}\right)\sim \hspace{1}{a}_{0}+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \left({ \hspace{1}{a}_{n}\cos \frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}x+\hspace{1}{b}_{n}\sin \frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}x }\right) } }$ 　･･････(4)

となる．(4)に(1)，(2)，(3)を代入すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{\ell }\left({x}\right)\sim \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)dv }}$ $3$\displaystyle{+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \left{{ \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}x+\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}x }\right} }}$ 　･･････(5)

となる． $3$\displaystyle{ {\Delta}{\omega}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} }$ より $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\Delta}{\omega} \hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }$ となり，これを(5)に代入すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{\ell }\left({x}\right)\sim \frac{\hspace{2} {\Delta}{\omega} \hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)dv }}$ $3$\displaystyle{+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \left{{ \left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}{\omega} \hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}x+\left({ \frac{\hspace{2} {\Delta}{\omega} \hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}x }\right} }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{\ell }\left({x}\right)\sim \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)dv } }\right){\Delta}{\omega}}$ $3$\displaystyle{+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\left{{ \left({ \displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}x+\left({ \displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}x }\right}{\Delta}{\omega} }}$ 　･･････(6)

ここで， $3$\displaystyle{ \ell \rightarrow \infty }$ にすると，フーリエ級数がどうなるか検討する．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ \ell \rightarrow \infty }\hspace{1}{f}_{\ell }\left({x}\right)\sim { \lim }\limits_{ \ell \rightarrow \infty }\left[{ \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)dv } }\right){\Delta}{\omega} }$ $3$\displaystyle{\left.{ +\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\left{{ \left({ \displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}x+\left({ \displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}x }\right}{\Delta}{\omega} } }\right\]}$ 　･･････(7)

まず，(7)の右辺の第１項の

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ \ell \rightarrow \infty }\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)dv } }\right){\Delta}{\omega} }$

の値をについて考える．

$3$\displaystyle{ \ell \rightarrow \infty }$ のとき， $3$\displaystyle{ {\Delta}{\omega}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} }$ より， $3$\displaystyle{ {\Delta}{\omega}\rightarrow 0 }$ となる

今回取り扱う関数 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right) }$ は， $3$\displaystyle{ \left|{ { \lim }\limits_{ \ell \rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)dv } }\right| }$ が有限の値をもつとする．この場合

となる．

次に，(7)の右辺の第2項の

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ \ell \rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\left{{ \left({ \displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\cos \hspace{1}{{\omega}}_{n}x+\left({ \displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f\left({v}\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}vdv } }\right)\sin \hspace{1}{{\omega}}_{n}x }\right}{\Delta}{\omega} } }$ 　･･････(8)

を，定積分の定義式

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f\left({ \hspace{1}{c}_{i} }\right){\Delta}x }=\displaystyle{ \int _{a}^{b} f\left({x}\right) }dx }$ 　･･････(9)

ただし， $3$\displaystyle{ {\Delta}x=\frac{\hspace{2} b- a \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}},\text{ }{\Delta}x\left({ i- 1 }\right)\leq \hspace{1}{c}_{i}\leq {\Delta}x\cdot i }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

と対比することにより，定積分の式に変換することを考える．

(9)の $3$\displaystyle{ n\rightarrow \infty }$ の操作は， $3$\displaystyle{ n\rightarrow \infty }$ のとき $3$\displaystyle{ {\Delta}x\rightarrow 0 }$ となり，微小要素 $3$\displaystyle{ f$x${\Delta}x }$ の数を無限大にするための操作である．また， $3$\displaystyle{ n\rightarrow \infty }$ のとき， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}\rightarrow a }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{n}\rightarrow b }$ となる．(8)において定積分の定義式(9)の

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{i} }$ に対応するのは $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{n} }$ ，

$3$\displaystyle{ {\Delta}x }$ に対応するのは $3$\displaystyle{ {\Delta}{\omega} }$ ，

$3$\displaystyle{ n\rightarrow \infty }$ ( $3$\displaystyle{ {\Delta}x\rightarrow 0 }$ の操作)に対応するのは， $3$\displaystyle{ \ell \rightarrow \infty }$ ( $3$\displaystyle{ {\Delta}{\omega}\rightarrow 0 }$ の操作)，

$3$\displaystyle{a}$ に対応するのは $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{1} }$ で， $3$\displaystyle{ \ell \rightarrow \infty }$ のとき $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{1}\rightarrow 0 }$ ，

$3$\displaystyle{b}$ に対応するのは $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{n} }$ で， $3$\displaystyle{ \ell \rightarrow \infty }$ のとき $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\omega}}_{n}\rightarrow \infty }$ ，

である．以上の対応関係より(8)式は

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\left{{ \left({ \displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\cos {\omega}vdv } }\right)\cos {\omega}x+\left({ \displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\sin {\omega}vdv } }\right)\sin {\omega}x }\right}d{\omega} } }$ 　･･････(10)

と，積分変数 $3$\displaystyle{{\omega}}$ の定積分に変換できる．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ l\rightarrow \infty }\hspace{1}{f}_{l}\left({x}\right)=f\left({x}\right) }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\cos {\omega}vdv }=G\left({{\omega}}\right) }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \infty }^{\infty} f\left({v}\right)\sin {\omega}vdv }=H\left({{\omega}}\right) }$

とおくと(7)は

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} \left{{ G\left({{\omega}}\right)\cos {\omega}x+H\left({{\omega}}\right)\sin {\omega}x }\right}d{\omega} } }$

となる．

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最終更新日： 2023年7月3日