周期2ℓのフーリエ級数の公式

周期 $3$\displaystyle{2\ell }$ の周期関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} $ \hspace{1}{a}_{n}\cos \frac{\hspace{2} n{\pi}x \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}+\hspace{1}{b}_{n}\sin \frac{\hspace{2} n{\pi}x \hspace{2}}{\hspace{2}L\hspace{2}} $ }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{0}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $x$ }xdx}$ 　･･････(1) 　

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $x$ }\cos \frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}xdx}$ 　　　　( $3$\displaystyle{ n=1,2,3\text{\hspace{1}}\cdots }$ )　･･････(2)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{b}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $x$ }\sin \frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}xdx}$ 　　　　 ( $3$\displaystyle{ n=1,2,3\text{\hspace{1}}\cdots }$ )　･･････(3)

のようり三角関数の級数として表される．この級数のことを関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ のフーリエ級数といい， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{0} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{b}_{n} }$ のことをフーリエ係数という．

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ が不連続となる $3$x$ などでは $3$\displaystyle{f $x$ }$ の値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので， $3$\displaystyle{f $x$ }$ のフーリエ級数を表す場合

のように「＝」を使わず，「～」を使い

$3$\displaystyle{f $x$ \sim \frac{\hspace{2} \hspace{1}{a}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} $ \hspace{1}{a}_{n}\cos \frac{\hspace{2} n{\pi}x \hspace{2}}{\hspace{2}L\hspace{2}}+\hspace{1}{b}_{n}\sin \frac{\hspace{2} n{\pi}x \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} $ }}$ ･･････(5)

と表すのが一般的である．

■周期 $3$\displaystyle{2{\pi}}$ のフーリエ級数から周期 $3$\displaystyle{2\ell }$ のフーリエ級数の求め方

周期 $3$\displaystyle{2{\pi}}$ の周期関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ は

$3$\displaystyle{f $x$ =f $ x+2{\pi} $ }$ ･･････(6)

の関係がある．(6)に $3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t}$ を代入すると

$3$\displaystyle{f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ =f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t+2{\pi} $ }$

$3$\displaystyle{f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ =f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}} \( t+2\ell $ \) }$

となる．

$3$\displaystyle{f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ =g $t$ }$

とおくと，

$3$\displaystyle{g $x$ =g $ x+2\ell $ }$

となり， $3$\displaystyle{g $x$ }$ は周期 $3$\displaystyle{2{\pi}}$ の周期関数になる．

上記の性質を利用して，周期 $3$\displaystyle{2{\pi}}$ のフーリエ級数から周期 $3$\displaystyle{2\ell }$ のフーリエ級数を求める．

周期 $3$\displaystyle{2{\pi}}$ のフーリエ級数の式に $3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t}$ と置いて変数を $3$x$ から $3$t$ に変換する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{0}+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} $ \hspace{1}{a}_{n}\cos nxdx+\hspace{1}{b}_{n}\sin nx $ }}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{a}_{0}+\displaystyle{{\sum }\limits_{ n=1 }^{\infty} $ \hspace{1}{a}_{n}\cos n\frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}tdx+\hspace{1}{b}_{n}\sin n\frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}tdt $ }}$

となる．

フーリエ係数は，周期 $3$\displaystyle{2{\pi}}$ のフーリエ係数を求める積分を $3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t}$ と置いて置換積分をすることによって求める．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}}$ より $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}dt}$

$3$x$	$3$\displaystyle{- {\pi}\rightarrow {\pi}}$
$3$t$	$3$\displaystyle{- \ell \rightarrow \ell }$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{0}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - {\pi} }^{{\pi}} f $x$ dx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}dt }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ dt }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } g $t$ dt }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - {\pi} }^{{\pi}} f $x$ \cos nxdx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ $ \cos n\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ \cos n\frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}tdt }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } g $t$ \cos n\frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}tdt }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{b}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - {\pi} }^{{\pi}} f $x$ \sin nxdx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ $ \sin n\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } f $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}t $ \sin n\frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}tdt }& \vspace{6}\\ \end{array}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\ell \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - \ell }^{\ell } g $t$ \sin n\frac{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}\ell \hspace{2}}tdt }}$

となる．変数を $3$x$ から $3$t$ に，関数 $3$f$ を関数 $3$f$ に書き換えてもフーリエ係数の値は変わらない．

以上より，周期 $3$\displaystyle{2\ell }$ のフーリエ級数の式が求まる．

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最終更新日： 2025年4月22日

周期2ℓのフーリエ級数の公式

■周期のフーリエ級数から周期のフーリエ級数の求め方

■周期 $3$\displaystyle{2{\pi}}$ のフーリエ級数から周期 $3$\displaystyle{2\ell }$ のフーリエ級数の求め方